Question

19 ln(6x)-6x+18 наибольшее значение функции на промежутке [1/12 ; 5/12]

Answer 1

Наибольшее значение функции y(1/6)=17

Пошаговое объяснение:

Функция y=ln(6·x)-6·x+18 определена только при x>0, так как одно из слагаемых ln(6·x).

Найдем критические точки функции:

$\displaystyle y'=(ln(6*x)-6*x+18)'=(ln(6*x))'-(6*x)'+(18)'=\frac{6}{6*x}-6+0=\frac{1}{x}-6$

$\displaystyle y'=0$ ⇔ $\displaystyle \frac{1}{x}-6=0$ ⇔ x₀=1/6=2/12∈[1/12; 5/12].

Вычислим значения функции в точке x₀=1/6 и на границах отрезка [1/12; 5/12]:

y(1/12)= ln(6·1/12)-6·1/12+18=ln(1/2)-1/2+18=17,5+ln(1/2)=17,5-ln2

y(1/6)= ln(6·1/6)-6·1/6+18=ln(1)-1+18=0+17=17

y(5/12)= ln(6·5/12)-6·5/12+18=ln(5/2)-5/2+18=15,5+ln(5/2)

Сравним значения:

$\displaystyle y(\frac{1}{12} )-y(\frac{1}{6})=17,5-ln2-17=0,5-ln2=\\\\=0,5*lne-ln2=ln\sqrt{e} -ln2=ln\frac{\sqrt{e}}{2} =ln\sqrt{\frac{e}{4}}$

$\displaystyle y(\frac{5}{12} )-y(\frac{1}{6})=15,5-ln(5/2)-17=\\\\=-1,5-ln2,5$

Отсюда, так как

y(1/6)>y(1/12) и y(1/6)>y(5/12)

то на промежутке [1/12 ; 5/12] наибольшее значение функции y(1/6)=17.