Question

Найти общий интеграл однородного ду первого порядка x²y'=2xy-y²

Answer 1

Пусть $y=ux$, тогда по правилу дифференцирования произведения двух функций $y'=u'x+u$. В результате получим

$x^2(u'x+u)=2x^2u-u^2x^2\\ \\ u'x+u=2u-u^2\\ \\ u'x=u-u^2$ уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \frac{du}{dx} = \frac{u-u^2}{x} ~~~\Rightarrow~~ \frac{du}{u-u^2} = \frac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~ \frac{du}{0.25-(u-0.5)^2}= \frac{dx}{x} \\ \\ \\ \int \frac{du}{0.5^2-(u-0.5)^2}=\int \frac{dx}{x} ~~~\Rightarrow~~~\ln\bigg| \frac{u}{1-u} \bigg|=\ln|x|+\ln C\\ \\ \frac{u}{1-u}=Cx$

Получили общий интеграл уравнения относительно u.

Возвращаемся к обратной замене: $u= \frac{y}{x}$, получим

$\dfrac{ \frac{y}{x} }{1- \frac{y}{x} }=Cx~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{y}{x-y} =Cx$ 

Получили общий интеграл............