Ведем систему координат. Начало координат в точке А. Направление оси Ох совпадает с вектором AD, оси Оу совпадает с вектором АВ, оси Оz совпадает с вектором АА₁.
Координаты указанных в условии задачи точек A₁(0;0;a); E₁(a/2;a;a); C₁(a;a;a); C(a;a;0)
Уравнение окружности с центром в точке (x₀;y₀;z₀) и радиусом R имеет вид (х-x₀)²+(у-y₀)²+(z-z₀)²=R²
Подставим координаты точек в данное уравнение, получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными:
(0-x₀)²+(0-y₀)²+(a-z₀)²=R²
((a/2)-x₀)²+(a-y₀)²+(a-z₀)²=R²
(a-x₀)²+(a-y₀)²+(a-z₀)²=R²
(a-x₀)²+(a-y₀)²+(0-z₀)²=R²
Вычитаем из третьего уравнения второе: (a-x₀)²-((a/2)-x₀)²=0; (a-x₀-(а/2)+х₀)(a-x₀+(а/2)-х₀) ⇒ х₀ =3а/4.
Вычитаем из третьего уравнения первое (a-x₀)²+(a-y₀)²-(0-x₀)²-(0-y₀)²=0; (a-x₀-x₀)(a-x₀+x₀)+(a-у₀-у₀)(a-у₀+у₀)=0 a-2x₀+a-2y₀=0 ⇒x₀+y₀=a y₀=a - x₀=a - (3a/4)=a/4
Вычитаем из третьего уравнения четвертое (a-z₀)²- (0-z₀)²=0; (a-z₀-z₀)(a-z₀+z₀)=0 ⇒ z₀ =а/2.
Подставим найденные координаты центра окружности в первое уравнение: (0-(3а/4))²+(0-(а/4))²+(a-(а/2))²=R²⇒ R=a·√(7/8).
Рассмотрим уравнение 3x-5y=13. Найдем множество целых решений этого уравнения. 1) 3x=5y+13=3(y+4)+2y+1 Так как левая часть кратна 3, то и правая часть должна быть кратна 3. Поэтому 2y+1 кратно 3. Пусть 2y+1=3a, a∈Z 2) 2y=3a-1=2a+a-1. Левая часть кратна 2, правая тоже должна быть кратна 2. Поэтому a-1 кратно 2. Пусть a-1=2b, b∈Z 3) a=2b+1. Ограничений на левую часть нет, поэтому можно вернуться к старым переменным: 2y+1=3a => 2y+1=3(2b+1) => 2y=6b+2 => y=3b+1 3x=5y+13 => 3x=5(3b+1)+13 => 3x=15b+18 => x=5b+6. Получили решение в целых числах (5b+6; 3b+1), b∈Z Подставим любое целое число вместо b и получим одно из решений, удовлетворяющих исходному уравнению. Например, b=0 => (6;1) b=1 => (11;4) b=-1 => (1;-2)
Если только 12b входит в числитель, то:
а)3а-12b/6ab=3а-2/а=(3а²-2)/а
Если 3а-12b входит в числитель, то:
а)(3а-12b)/6ab=(3(а-4b)/6ab=(a-4b)/2ab
Если только 10с входит в числитель, то:
b)15b-10c/10b=15b-c/b=(15b²-c)/b
Если 15b-10c входит в числитель, то:
b)(15b-10c)/10b=(5(3b-2c)/10b=(3b-2c)/2b
Если 2a+4 входит в числитель, то:
c)(2a+4)/3(a+2)=(2(а+2)/(3(а+2)=2/3
Если 4 входит в числитель, то:
c)2a+4/3(a+2)=(6а(а+2)+4)/(3(а+2)=(6а²+12а+4)/(3а+6)
Если 15х входит в числитель, а 6y+18 в знаменатель, то:
d)5xy+15x/(6y+18)=5ху+15х/(3(2у+6)=5ху+5х/(2у+6)=(5ху(2у+6)+5х)/(2у+6)=(10ху²+30ху+5х)/(2у+6)
Если 15х входит в числитель, а 6y в знаменатель, то:
d)5xy+15x/6y+18=5ху+5х/2у+18=(10ху²+5х+36у)/2у
Если 5ху+15х входит в числитель, а 6y в знаменатель, то:
d)(5xy+15x)/6y+18=(5ху+15х)/6у+18/1=(5ху+15х)/6у+(6у*18)/(6у*1)=(5ху+15х)/6у+108у/6у=(5ху+15х+108у)/6у
Если 5ху+15х входит в числитель, а 6y+18 в знаменатель, то:
(5xy+15x)/(6y+18)=(5х(у+3))/(6(у+3))=5х/6
Если 10a-10b входит в числитель, а 15b-15a в знаменатель, то:
e)(10a-10b)/(15b-15a)=(5(2а-2b))/(5(3b-3a))=(2(a-b))/(-3(-b+a))=(2(a-b))/(3b-3a)=(2(a-b))/(-3(-b+a))=2/-3=-2/3
Если 10a-10b входит в числитель, а 15b в знаменатель, то:
e)(10a-10b)/15b-15a=(5(2a-2b))/15b-15a=(2a-2b)/3b-15a=(2a-2b-45ab)/3b
Если 10b входит в числитель, а 15b-15a в знаменатель, то:
e)10a-10b/(15b-15a)=10a-10b/(5(3b-3a))=10a-2b/(3b-3a)=(10a(3b-3a)-2b)/(3b-3a)=(30ab-30a²-2b)/(3b-3a)
Если 10b входит в числитель, а 15b в знаменатель, то:
e)10a-10b/15b-15a=10a-2/3-15a=-5a-2/3