Будем отмечать каждый день количество задач решенных с 1 января по текущий
день включительно.
Получим 365 чисел.
Если разность каких-либо двух из этих чисел равна 20, то утверждение задачи верно.
Докажем, что такая пара найдется.
Обозначим Ок количество чисел дающих при делении на 20 остаток к
Очевидно О0+О1+О2+О3+...+О18+О19=365
поскольку каждое число хоть какой-нибудь остаток имеет.
Далее, хотя бы одно из Ок не меньше 19 (иначе сумма Ок не больше 360)
Возьмем под пристальное наблюдение числа с таким остатком. Те самые, которых не меньше 19.
Разность любых двух из них делится на 20.
Осталось показать, что разность хотя бы двух из них не превосходит, например, 32 (чтоб легче было считать). Тогда она равна 20, поскольку делится на 20.
Допустим противное: разность любых двух последовательных больше 32. Тогда самое
большое из них будет не меньше 18*32=576.
Но поскольку решалось не более 12 задач в неделю, то число всех решенных за год
задач не превосходит 52*12+12=546
Отрезков длиной 32 покрывающих промежуток (0,546) не более 18. А чисел
с одинаковыми остатками не меньше 19.
Значит хотя бы 2 их них попадут в один промежуток (принцип Дирихле)
1) Сумма смежных углов равна 180°, выразим больший угол:
(1/5)х = (1/7)у => х = (5/7)у
(5/7)у + у = 180°
(12/7)у = 180°
у = 1260/12 = 105°
2) Диагональ квадрата будет равна диаметру круга. Площадь круга равна
S = a^2 = 28^2 = 784 см². Радиус круга равен половине стороны квадрата (R= 28/2 = 14), а площадь круга:
S = pi*R^2 = 3*196 = 588
Вычитаем площадь круга от площади квадрата: 784 - 588 = 196 см²