Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка
y′′+2y′+2y=2x2+8x+6при заданных начальных условиях y(0)=1,y′(0)=41. Решаем однородное уравнение y′′+2y′+2y=0
Решение будем искать в виде y=eλx, тогда y'=λeλx;y''=λ2eλx.
Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение
2. Решаем неоднородное уравнение y′′+2y′+2y=2x2+8x+6
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной C1=C1(x);C2=C2(x) в виде yчаст(x)=C1(x)e−xcos(x)+C2(x)e−xsin(x)(1).
Для нахождения функций C1(x);C2(x), подставим результаты в систему с учетом
y′1(x)=(e−xcos(x))′=−e−x(cos(x)+sin(x))
y′2(x)=(e−xsin(x))′=e−x(cos(x)−sin(x))
Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения
3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида yоб=yодн+yчаст
подставляем результаты из п.1,п.2
4. Решаем задачу Коши при начальных условиях y(0)=1,y′(0)=4
Находим значения констант при заданных начальных условиях Коши
Находим значение функции при условии y(0)=1
Если точка принадлежит графику квадратичной функции, подстановка её координат в уравнение функции y = ax² + bx + c должно давать справедливое равенство.
Координаты трёх точек позволяет составить систему из трёх уравнений с тремя неизвестными. Её решением будут коэффициенты уравнения квадратичной функции.
2 = a·4² + b·4 + c
4 = a·6² + b·6 + c
4 = a·2² + b·2 + c
16a + 4b + c = 2 | (1) - (3)
36a + 6b + c = 4 | (2) - (3)
4a + 2b + c = 4
12a + 2b = -2
32a + 4b = 0
4a + 2b + c = 4
6a + b = -1
8a + b = 0
4a + 2b + c = 4
b = -8a
-2a = -1
4a + 2b + c = 4
a = 1/2
b = -4
2 - 8 + c = 4
a = 1/2
b = -4
c = 10
ответ: y = 1/2 x² - 4x + 10.