Товарный поезд за 5 ч на 20 км меньше, чем пассажирский за 4 ч. найдите скорость товарного поезда, если она на 20 км/ч меньше скорости пассажирского поезда?
Пусть х км/ч - скорость пассажирского поезда, t = 4 ч - время в пути; тогда (х - 20) км/ч - скорость товарного поезда, t = 5 ч - время в пути. Товарный поезд за 5 ч на 20 км меньше, чем пассажирский за 4 ч. Уравнение:
По условию, среди чисел от 1 до N ровно 3/10 делятся на 3 и ровно 7/10 не делятся на 3. Отсюда следует, что N делится на 10. Заметим, что числа N=10 и N=20 подходят, в первом случае на 3 делится 3 числа, во втором 6 чисел, 3/10=6/20=30%. Число 30 уже не подходит, так как 10/30=1/3>30%. Покажем, что любое N>30 также не подойдет. Поскольку N делится на 10, это число можно представить в виде 10k, где k>3 – натуральное число. Ясно, что чисел, меньших N и кратных 3, заведомо не меньше 3k, поскольку в любом десятке (от 1 до 10, от 11 до 20, и так далее, от N-9 до N) есть минимум три числа, делящихся на 3. С другой стороны, в десятке от 20 до 30 таких чисел уже 4 (21, 24, 27, 30), поэтому всего чисел от 1 до N, кратных 3, не меньше 3k+1. Поскольку (3k+1)/10k=3k/10k+1/10k=3/10+1/10k>30%, любое число N>30 нам не подойдет. Следовательно, существует всего 2 подходящих числа – 10 и 20.
Итак, n = 1 или 2. На всякий случай проверяем: N = 10*1 = 10: на 3 делятся 3 числа (3, 6, 9), их 30% от 10. N = 10*2 = 20: на 3 делится 6 чисел (3, 6, 9, 12, 15, 18), их 30% от 20.
Пусть х км/ч - скорость пассажирского поезда, t = 4 ч - время в пути; тогда (х - 20) км/ч - скорость товарного поезда, t = 5 ч - время в пути. Товарный поезд за 5 ч на 20 км меньше, чем пассажирский за 4 ч. Уравнение:
5 * (х - 20) + 20 = х * 4
5х - 100 + 20 = 4х
5х - 4х = 100 - 20
х = 80 (км/ч) - скорость пассажирского поезда
80 - 20 = 60 (км/ч) - скорость товарного поезда
ответ: 60 км/ч.
Проверка: 4 * 80 - 5 * 60 = 320 - 300 = 20