Question

Докажите на простом примере существование иррациональных чисел

Answer 1

Число пи 3,141592

Answer 2

иррациональные цисла - действительные не являющиеся рациональными...

доказать существование - достаточно привести пример.

Пример иррационального числа $\sqrt{2} \\$

понятно, что оно действительное (величина длины диагонали квадрата со стороной 1, например), покажем, что оно не является рациональным, то есть не существует дроби х/у=√2, где х - целое, у - натуральное

Предположим обратное, то есть такие х и у существуют, тогда

$\sqrt{2} =\frac{x}{y} ; |*\sqrt{2} \\\sqrt{2}*\sqrt{2}=\frac{x^{2}}{y^{2}} ;\\2*y^{2}=x^{2};$

(самое сложное)

разложив на множители х и у получим:

слева в равенстве число 2 в нечетной степени (действительно один раз уже есть, и могут быть от у*у, но только в четных степенях, а один плюс четное - нечетно)

справа 2 если и есть то только в четной степени.

а 2 в нечетной степени не может быть равно 2 в четной

получили противоречие

Значит представления √2 в виде дроби не существует.

Таким образом число √2 - иррационально

P.S. использовано (два натуральных числа равны ⇔совпадают все степени простых сомножителей)