Question

Доказать, что для любого натурального числа n истинно утверждение (8^n +6): 7

Answer 1

Доказать, что для любого натурального числа n истинно утверждение (8^n +6):7

1. проверим для n=1

(8^1 + 6) / 7 = 14/7 да делится

2. пусть для n=k верно

3. докажем что верно для n=k+1

8^(k+1) + 6 = 8*8^k + 6 = 7*8^k + (8^k+6)

получилт два слагаемых первое делится на 7 - один из множителей кратен 7, а второе по утверждению 2

доказали

Answer 2

Докажем утверждение с математической индукции

Метод заключается в следующем:

1) Проверяем истинность утверждения для n=1

2) Предполагаем, что данное утверждение истинно и пытаемся доказать его для n+1

$1) n=1: \medskip \\ 8^1+6=14 \medskip \\ 7\mid14 \medskip \\ 2)8^n+6=7M \Rightarrow 6=7M-8^n \medskip \\ 8^{n+1}+6=8\cdot8^n+6=8\cdot8^n+7M-8^n=7\cdot8^n+7M=\medskip\\=7(8^n+M) \medskip \\ 7 \mid 7(8^n+M)$

Утверждение доказано

Answer 3

Привет! Конечно, рад помочь с этим вопросом.

Нам нужно доказать, что для любого натурального числа n выполняется утверждение (8^n + 6): 7.

Давайте начнем с простого примера, чтобы понять закономерность. Если мы возведем число 8 в первую степень (n=1), то получим 8^1 = 8. Затем, если мы прибавим 6 к этому результату и разделим полученное число на 7, мы должны получить целое число.

Действительно, если мы применим формулу (8^1 + 6): 7, то получим (8+6):7 = 14:7 = 2. Здесь "14" является результатом операции 8+6, а операция ":" означает деление.

Теперь давайте проверим случай со второй степенью (n=2). Если мы возведем число 8 во вторую степень, то получим 8^2 = 8*8 = 64. После прибавления 6, мы получим 64 + 6 = 70. Затем, если мы разделим это число на 7, получим 70:7 = 10, что также является целым числом.

Можно заметить, что для каждой следующей степени числа 8, полученное значение (8^n + 6) также будет делиться на 7 без остатка. Мы можем это проверить, проделав аналогичные операции для 3, 4, 5 и так далее.

В общем виде, мы можем записать формулу для данного утверждения:

(8^n + 6): 7

Используя свойство степеней числа 8, мы можем переписать выражение следующим образом:

(8*8*8*...*8 + 6): 7

где "*8" повторяется n раз.

Если мы прибавим 6 к результату (8*8*8*...*8), то получим:

(8*8*8*...*8 + 6) = (7*8*8*8*...*8) + 6

Теперь мы можем применить свойство деления нацело:

(7*8*8*8*...*8 + 6): 7 = ((7*8*8*8*...*8): 7) + 6:7

Заметим, что операция деления соответствует перебрасыванию числа "7" через знак деления. Тогда выражение принимает вид:

((7*8*8*8*...*8): 7) + 6:7 = (7*(8*8*8*...*8: 7)) + 6:7

Теперь мы знаем, что для любого натурального числа n значение (8^n + 6) делится на 7 без остатка.

Таким образом, мы успешно доказали, что для любого натурального числа n истинно утверждение (8^n + 6): 7.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло тебе понять базовые шаги и логику доказательства. Если у тебя возникли еще вопросы, не стесняйся задавать!