Question

Все на фото, интересно кто вообще сможет решить?

Answer 1

$\lim_{x \to \infty} \frac{(x+1)^{10}+(x+2)^{10}+...+(x+100)^{10}}{x^{10}+10^{10}}=(\frac{\infty}{\infty})$

1) Используя бином Ньютона, возведем в 10-ую степень первое слагаемое числителя:

(x+1)¹⁰=х¹⁰+10х⁹+45x⁸+120x⁷+210x⁶+25x⁵+210x⁴+120x³+45x²+10x+1

У данного разложения старшая степень х¹⁰ имеет коэффициент, равный 1.

Аналогично можно возводить в 10-ую степень и остальные слагаемые. НО делать этого не нужно, т.к. очевидно, что у каждого слагаемого при разложении старшая степень х¹⁰ имеет коэффициент равный 1.

2) Всего в числителе 100 слагаемых, таким образом получаем сумму старших степеней с коэффициентом, равным 100.

х¹⁰+х¹⁰+...+х¹⁰ = 100х¹⁰

3) Теперь возвратимся к данному пределу, оставив только старшие степени числителя и знаменателя:

$\lim_{x \to \infty} \frac{(x+1)^{10}+(x+2)^{10}+...+(x+100)^{10}}{x^{10}+10^{10}}=(\frac{\infty}{\infty})=\lim_{x \to \infty}\frac{100x^{10}}{x^{10}}=$

$\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{100x^{10}}{x^{10}} }{\frac{x^{10}}{x^{10}}}= \lim_{x \to \infty} \frac{100}{1}=100$