Question

Уже 3 дня не могу понять: докажите методом индукции, что: 1) 0∧n = 0 для любого натурального n; w 2) если 0 ≤ a < b, то a∧n < b∧n для любого натурального n; 3) a∧n b∧n = (ab)∧n для любого натурального n; 4) (a∧n)∧m = a∧nm для любых натуральных m и n.

Answer 1

Доказательство проводится в 3 шага.
1 пример. 1шаг- проверяем при n=1: 0^1=0 -верно;
2шаг- предполагаем, что исходное (т.е. 0^n=0) верно при n=k, k€N: 0^k=0 -верное
3 шаг- доказываем, что равенство верно и при n=k+1: 0^(k+1)=0^k•0^1=0•0=0 - первый сомножитель верный 0 согласно п.2, второй согласно п.1, значит 0^n=0 верно для любого натурального n, ч.т.д.
2 пример. 1) при n=1 a^1<b^1, а<b -выполняется;
2) полагаем, что при n=k a^k<b^k тоже выполняется
3) проверяем при n=k+1: a^(k+1)<b^(k+1), a^k•a^1<b^k•b^1, а^k•а<b^k•b
Согласно свойству неравенства одинаковых знаков с положительными членами можно почленно умножать и делить, следовательно, полученное неравенство верное для n=k+1, значит и для любого n. ч.т.д.
3 пример 1) n=1, a^1•b^1=a•b=(ab)^1 верно;
2) полагаем, что при n=k a^k•b^k=(ab)^k -верное;
3) проверяем при n=k+1, используя свойства показателей: a^(k+1)•b^(k+1)= a^k•a^1•b^k•b^1= (ab)^k•(ab)^1 сомножители верны согласно п.2 и п.1, значит для любого натурального n a^n•b^n=(ab)^n, ч.т.д.