Question

Угол между диагоналями прямоугольника равен 120°, а площадь прямоугольника 9 см2. найдите стороны прямоугольника

Answer 1

Смотрите поясняющий рисунок.

Если один из углов межу диагоналями α=120°, то другой β=30°.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит малые треугольники будут равнобедренными, углы при основании равны. Значит в остроугольных треугольниках ΔABO и ΔDOC углы при сторонах AB CD (=a) будут равны (180-30)/2=60°=β. Т.е. треугольники ΔABO и ΔDOC будут равносторонними и следовательно половины диагоналей AO=BO=CO=DO= a . Соответственно диагонали AC=BD=2a

Из прямоугольного ΔABD выражаем квадрат гипотенузы (диагонали прямоугольника) BD:

$BD^2=(2a)^2=a^2+b^2$   [1]

Площадь прямоугольника

$S=a b$   [2]

Выражаем сторону b через a и площадь S.

$b=\frac{S}{a}$  [3]

Подставляем [3] в [1] и решаем полученное уравнение.

$\frac{S^2}{a^2}+a^2=(2a)^2=4a^2\\ \\ S^2=4a^4-a^4=3a^4\\ \\ a=\sqrt[4]{\frac{S^2}{3} }=\sqrt[4]{\frac{81}{3}}=\sqrt[4]{27} =3^{\frac{3}{4} }$

Соответственно  из [3] находим b.

$b=\frac{S}{a} =\frac{9}{\sqrt[4]{27} } =3^{2} \cdot 3^{-\frac{3}{4} }=3^{\frac{8-3}{4} }=3^{\frac{5}{4} }=\sqrt[4]{3^5} =\sqrt[4]{243}$

$a=\sqrt[4]{27} \\ \\ b=\sqrt[4]{243}$