190 прямых
Пошаговое объяснение:
попробуем построить, ну, например для 4-х точек (см.рис).
Прямая проходит через каждые две точки. Т.е. нужно посчитать сколько различных пар точек можно выбрать из 4-х точек. Это - известная в комбинаторике формула для подсчета числа сочетаний (именно сочетаний, а не размещений, потому, что прямая АВ и прямая ВА - одна и таже прямая). Подсчитаем для 4-х точек:
C₄²=4!/(4-2)!4!=4!/(2!*2!)=3*4/2=6;
и действительно видим 6 прямых. Тогда для 20 точек:
C₂₀²=20!/((20-2)!2!)=19*20/2=190.
z(x, y) = xy(12 – x – y) = 12xy – x2y – xy2,
∂z/∂x = 12y – 2xy – y2 = y(12 – 2x – y),
∂z/∂y = 12x – x2 – 2xy = x(12 – x – 2y),
∂z/∂x = y(12 – 2x – y) = 0, ∂z/∂y = x(12 – x – 2y) = 0 при x1 = 0, y1 = 0, x2 = 4, y2 = 4,
то M1(0; 0), M2(4; 4) – стационарные точки. В этих точках dz = 0, и выполняются необходимые условия экстремума.
Поскольку
∂2z/∂x2 = -2y,
∂2z/∂y2 = -2x,
∂2z/(∂x∂y) = 12 – 2x – 2y,
и в точке M1(0; 0)
A = ∂2z(0; 0)/∂x2 = -2 ∙ 0 = 0,
B = ∂2z(0; 0)/(∂x∂y) = 12 – 2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 = 12,
C = ∂2z(0; 0)/∂y2 = -2 ∙ 0 = 0,
∆ = AC – B2 = 0 – (12)2 = -144 < 0, то точка M1 не является точкой экстремума.
Поскольку
в точке M2(4; 4)
A = ∂2z(4; 4)/∂x2 = -2 ∙ 4 = -8 < 0,
B = ∂2z(4; 4)/(∂x∂y) = 12 – 2 ∙ 4 – 2 ∙ 4 = -4,
C = ∂2z(4; 4)/∂y2 = -2 ∙ 4 = -8 < 0,
∆ = AC – B2 = (-8) ∙ (-8) – (-4)2 = 64 – 16 = 48 > 0, то точка M2 является точкой локального максимума. Значение функции в этой точке равно
z(4; 4) = 4 ∙ 4 ∙ (12 – 4 – 4) = 16 ∙ 4 = 64.