Рассмотрим вопрос о распределении в классах по модулю последовательности
(1)
где - некоторое число, взаимно простое с модулем. По теореме Эйлера имеем , и поэтому , при любом целом положительном . Следовательно, среди степеней (1) числа найдется бесконечное количество чисел, сравнимых с 1 по модулю .
Определение 1. Наименьшее натуральное число , для которого справедливо сравнение
(2)
называется показателем числа по модулю или показателем, которому принадлежит число по модулю и обозначается символом .
Очевидно, что. Требование является существенным.
Определение 2. Если , то называют первообразным корнем (примитивным) по модулю .
1°. Если , то числа и принадлежат по этому модулю одному и тому же показателю, то есть .
Доказательство. Пусть , . Так как , то
.
Следствие 1. Все числа одного и того же класса имеют один и тот же показатель.
2°. Если , то .
Доказательство. Необходимость. Пусть . По теореме о делении с остатком имеем , причем . Поскольку , то . Следовательно, . А это означает, что .
Достаточность. Пусть . Тогда . Поскольку , то , то есть .
Следствие 2. Если и , то .
Следствие 3. Показатель , которому принадлежит число по модулю , является делителем числа , то есть .
3°. Если , то .
Следствие 4. Показатель, которому принадлежит по модулю произведение чисел , равен произведению показателей, которым принадлежат по модулю числа , если показатели попарно взаимно простые.
4°. Если , то .
2. Первообразные корни.
Теорема 1. Если - первообразный корень, то система - ПрСВ.
Действительно, в данной системе имеется - вычетов, они не сравнимы и взаимно просты с модулем .
Теорема 2. По любому простому модулю существует хотя бы один первообразный корень.
Доказательство. Действительно, пусть
(3)
- все различные показатели, которым по модулю принадлежат числа
. (4)
Пусть - наименьшее общее кратное этих показателей и - его каноническое разложение. Каждый множитель этого разложения делит по меньшей мере одно число ряда (3), которое, следовательно, может быть представлено в виде: . Пусть - одно из чисел ряда (4), принадлежащих показателю . Согласно свойству 4° число принадлежит показателю , согласно свойству 3° произведение принадлежит показателю . Поэтому, согласно следствия 2 свойства 2° показателей, - делитель . Но поскольку числа (3) делят , все числа (4) являются решениями сравнения ; поэтому будем иметь . Следовательно, и - первообразный корень.
Теорема 3. Если существует хотя бы одно число, принадлежащее по модулю показателю , то всего классов таких чисел будет .
Следствие 5. Первообразных корней по простому модулю существует .
2014; 1996
Пошаговое объяснение:
"w"-разряд тысяч задуманного числа
"z"-разряд сотен задуманного числа
"х"-разряд десятков задуманного числа
"у"-разряд единиц задуманного числа
w*1000+z*100+х*10+y=задуманное число
(w*1000+z*100+x*10+y)+w+z+x+y=2021
1001w+101z+11x+2y=2021
Хорошо вот мы вывели формулу теперь будем подбирать цифры
Очевидно что "w" это либо 1, либо 2
давай начнём подбирать с 2
1001*2+101z+11x+2у=2021
101z+11x+2y=2021-2*1001=2021-2002=19
следовательно при w=2, z=0 так как если "z" не 0 то "х" и "у" не натуральные числа в пределах от 0 до 9
101*0+11х+2у=19
11х+2у=19
"х" в этом случае может быть только равным 1
11+2у=19
2у=8
у=4
Поздравляю мы нашли первое число
w=2; z=0; x=1; y=4 =>2014
Теперь рассмотрим случаи при w=1
1001*1+101z+11x+2y=2021
101z+11x+2y=2021-1001=1020
теперь начнем подбирать "z" начнем с z=9
101*9+11x+2y=1020
11x+2y=1020-909=111
Подбираем "х" так чтобы "у" был натуральным числом в пределе от 0 до 9
х=9 у=6 сам подбор я не покажу так как место в ответе ограниченно, если сомневаешься проверь меня сам
w=1; z=9; x=9; y=6 =>1996
рассмотрим z=8
11x+2y=1020-808=212
Ну и очевидно что даже при x=9, в этом случае "y" не натуральное число в пределах от 0 до 9. Следовательно существует только два числа удовлетворяющие условиям.
