Question

A,b — натуральные числа. найдите наибольшее возможное значение нод (a−8,b^3+1,a^2+b).

Answer 1

b^3+1=(b+1)(b^2-b+1)

Рассмотрим первый случай, когда НОД трёх чисел, равен множителю b+1.

1) Положим что  

НОД(a-8, b^3+1, a^2+b) = m Тогда пусть  a=mx-8, b=mz-1 тогда  a^2+b=m(x^2+16x+z)+63 То есть НОД в данном случае должен быть делителем числа 63=9*7 , откуда максимальный m=9 (как максимальное)

2)  

Рассмотрим случай когда m находится во множителе b^2-b+1=y тогда пусть НОД=m и

b^2-b+1-y=0

D=sqrt(1-4(1-y))=x^2  где  x,y натуральные числа

 4y-3=x^2  

y=(x^2+3)/4  пусть x=x1+x2n тогда подставляя  

 (x1^2+2x1*x2*n+x2^2n^2+3)/4  тогда чтобы y было натуральным ,  x1=1  откуда  x2=2 то есть  x=2n+1  откуда y=n^2+n+1 значит  b=n+1

Тогда все три числа равны , если НОД = m , то  (m*t, (n+1)(n^2+n+1), (mt-8)^2+n+1) = (m*t , (n+1)(n^2+n+1) ,  65+n)

 То есть надо найти наибольшее НОД чисел ((n+1)(n^2+n+1), 65+n)

 Вычтев с n^2+n+1-(65+n) =  n^2-64 , тогда пусть  65+n=m*l , откуда n=m*l-65 значит

((n+1)(n^2+n+1), 65+n) = (n^2-64,  n+65) = (m^2*l^2-130m*l+65^2-64 , m*l)  то есть НОД m=65^2-64 = 4161  

ответ 4161  выполняется например при  a=4169, b=4097