Фирма производит товар двух видов в количествах x и y. задана функция полных издержек c(x,y). цены этих товаров на рынке равны p1(х) и p2(у) соответственно. определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная
прибыль и чему она равна
c(x,y)=x^2+y^2+5
p1=20-x
p2=12-2y
Для начала, найдем функцию дохода R(x,y), которая выражается через цены товаров и объемы выпуска:
R(x,y) = p1(x) * x + p2(y) * y
Подставим значения p1(x) = 20-x и p2(y) = 12-2y в функцию R(x,y):
R(x,y) = (20-x)*x + (12-2y)*y
Затем выразим функцию прибыли П(x,y) через функции дохода и издержек:
П(x,y) = R(x,y) - c(x,y)
Подставим значения функций R(x,y) и c(x,y) в формулу прибыли:
П(x,y) = ((20-x)*x + (12-2y)*y) - (x^2 + y^2 + 5)
Разложим и упростим это выражение:
П(x,y) = 20x - x^2 + 12y - 2y^2 - x^2 - y^2 - 5
Приравняем производные функции прибыли по x и y к нулю, чтобы найти точки экстремума:
∂П/∂x = 20 - 2x - 2x = 0
∂П/∂y = 12 - 4y - 2y = 0
Решим данные уравнения:
20 - 2x - 2x = 0
-4x = -20
x = 5
12 - 4y - 2y = 0
-6y = -12
y = 2
Таким образом, издержки будут минимальными и прибыль будет максимальной при объемах выпуска x = 5 и y = 2.
Чтобы найти значение максимальной прибыли, подставим найденные значения x и y в формулу прибыли:
П(x,y) = ((20-5)*5 + (12-2*2)*2) - (5^2 + 2^2 + 5)
= (15*5 + (12-4)*2) - (25 + 4 + 5)
= (75 + 16) - 34
= 91 - 34
= 57
Таким образом, максимальная прибыль равна 57 единицам.