А) пусть AK : KB = 1 : n AK = x, BL = y, тк AB = CD и BC = AD имеем: cm = ak = x kb = md = nx nd = bl = y lc = an = ny ΔAKN = ΔLME по 1 признаку (ak = cm, an = lc, ∠kan = ∠lcm) => kn = lm аналогично получаем kl = nm Таким образом, в 4-хугольнике klmn противоположные стороны равны => этот 4-хугольник - параллелограмм пусть km ∩ ln = O Δaon = Δloc по 2 признаку (an = lc = ny, ∠oan = ∠ocl и ∠olc = ∠ona как внутренние накрест лежащие при AD || BC) => ∠aon = ∠loc => ∠aoc = 180 => с лежит на прямой ao из равенства треугольников также следует, что ao = oc => точка o - точка пересечения диагоналей парал-ма abcd, что и требовалось доказать б) пусть ak = cm = 2x kb = md = 5x bl = nd = 2y an = lc = 5y заметим, что sin(bad) = sin(180 - bad) = sin(abc) = sinA Sabcd = 7x * 7y * sinA = 49xysinA Sklmn = Sabcd - 2(Sakn + Sbkl) = 49xysinA - 2(10xysinA / 2 + 10xysinA / 2) = 49xysinA - 20xysinA = 29xysinA Sklmn / Sabcd = 29xysinA / (49xysinA) = 29 / 49 ответ: а) доказано; б) 29 / 49.
Пусть в группе х рыцарей и х лжецов (по условию задачи их количество равно). Очевидно, что на оба вопроса рыцари и лжецы отвечали по-разному. ответы на первый вопрос можно записать так: х≥6 и х≥9. Один из этих ответов - правда, другой - ложь. Если ответ х≥6 - ложь, а х≥9 - правда, то получится, что х<6 и х≥9, что невозможно. Следовательно, ответ х≥6 - правда, а ответ х≥9 - ложь, и получается, что 6≤х<9. Так как х - целое число, то возможные значения для х будут 6, 7 и 8. ответы на второй вопрос можно записать так: х≤7 и х≤10. Один из этих ответов - правда, другой - ложь. Если ответ х≤10 - ложь, а х≤7 - правда, то получится, что х>10 и х≤7, что невозможно. Следовательно, ответ х≤10 - правда, а ответ х≤7 - ложь, и получается, что 7<х≤10. Так как х - целое число, то возможные значения для х будут 8, 9 и 10. В пересечении двух множеств возможных значений лежит только число 8, следовательно, х=8. Значит, в группе 8 рыцарей и 8 лжецов. Число человек в группе равно 8+8=16.
AK = x, BL = y,
тк AB = CD и BC = AD
имеем:
cm = ak = x
kb = md = nx
nd = bl = y
lc = an = ny
ΔAKN = ΔLME по 1 признаку (ak = cm, an = lc, ∠kan = ∠lcm)
=> kn = lm
аналогично получаем
kl = nm
Таким образом, в 4-хугольнике klmn противоположные стороны равны => этот 4-хугольник - параллелограмм
пусть km ∩ ln = O
Δaon = Δloc по 2 признаку (an = lc = ny, ∠oan = ∠ocl и ∠olc = ∠ona как внутренние накрест лежащие при AD || BC) => ∠aon = ∠loc => ∠aoc = 180 => с лежит на прямой ao
из равенства треугольников также следует, что ao = oc => точка o - точка пересечения диагоналей парал-ма abcd, что и требовалось доказать
б) пусть ak = cm = 2x
kb = md = 5x
bl = nd = 2y
an = lc = 5y
заметим, что sin(bad) = sin(180 - bad) = sin(abc) = sinA
Sabcd = 7x * 7y * sinA = 49xysinA
Sklmn = Sabcd - 2(Sakn + Sbkl) = 49xysinA - 2(10xysinA / 2 + 10xysinA / 2) = 49xysinA - 20xysinA = 29xysinA
Sklmn / Sabcd = 29xysinA / (49xysinA) = 29 / 49
ответ: а) доказано; б) 29 / 49.