Question

Найдите последние цифры
1)2017^2018+2018^2019 - 117^78
2)28^30×42^47+19^2648
3)6^127: 2​

Answer 1

Заметим: $6^{n}-1\equiv 1^{n}-1(mod5)=1-1=0,n \in N_0=(6^{n}-1)\vdots 5=2*(6^{n}-1)\vdots 10=6*(6^{n}-1)\vdots 10=(6^{n+1}-6)\vdots 10=6^{n+1}\equiv6(mod 10)$

$1)\:2017^{2018}+2018^{2019} - 117^{78}\equiv 7^{2018}+8^{2019} - 7^{78}(mod 10)=7^{78}*(7^{1940}-1)+8^{2019} =49^{39}*(49^{970}-1)+8*64^{1009}\equiv (-1)^{39}*((-1)^{970}-1)+8*4^{1009}(mod10)=(-1)*0+32*256^{252}\equiv 2*6^{252}(mod10)\equiv 2*6(mod10)=12\equiv 2(mod 10)$

$2)\:28^{30}*42^{47}+19^{2648}\equiv (-2)^{30}*2^{47}+(-1)^{2648}(mod10)=2^{77}+1=4*32^{15}+1\equiv 4*2^{15}+1(mod 10)=4*32^3+1\equiv 4*2^3+1(mod10)=4*8+1=33\equiv 3(mod10)$

3) $6^{127}:2=6^{126}*3\equiv6*3(mod10)=18\equiv 8(mod10)$

ответ: 1)2; 2)3; 3)8

__________________

Использованы свойства сравнения чисел по модулю