Question

Решить дифференциальное уравнение : xy'+y=-x^2y^2 ; y(1)=1

Answer 1

Думаю так (P.S. ответ проверен на wolframalpha)

Answer 2

Это уравнение Бернулли, запишем его в виде

$\frac{y'}{y^2} +\frac{1}{yx} =-x$ (на решение y=0 и прочую шелуху забиваем, ибо все равн в конечном итоге придется искать частное решение)

Сделаем подстановку

$z=\frac{1}{y}$

Тогда

$z'=-\frac{y'}{y^2}$

и уравнение принимает вид

$z'-\frac{z}{x}=x$

Получили линейный диффур первого порядка, который решается заменой z=uv, z'=u'v+uv', где u - любое ненулевое решение уравнения

$u'-\frac{u}{x} =0$

Разделим переменные и проинтегрируем:

$\int\limits\frac{du}{u} =\int\limits\frac{dx}{x}\\ lnu=lnx \\u=x$

Подставляя в уравнение и преобразовывая имеем:

$u'v+uv'-\frac{uv}{x} =x\\uv'=x\\v'=1\\v=(x+C)\\z=uv=x(x+C)\\y=\frac{1}{x(x+C)}$

Теперь найдем решение задачи Коши:

$y(1)=1\\\\\frac{1}{1+C} =1\\C=0$

Итак, искомое частное решение имеет вид:

$y=\frac{1}{x(x+2)}$