Рассмотрим функцию f(x)=3x²+a²x+12a+4. Графиком этой функции служит парабола, ветви которой направлены вверх (это из-за того, что старший коэффициент положительный). Тот факт, что корни этой функции лежат по разные стороны от 2, проверяется условием f(2)<0. Итак, имеем
Добрый день! Я с удовольствием помогу вам с этим заданием.
У нас есть уравнение 3x^2 + а^2x + 12а + 4 = 0. Чтобы найти целое значение а, при котором уравнение имеет два корня, один из которых меньше двух, а другой больше двух, мы сначала воспользуемся дискриминантом.
Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты в уравнении.
В нашем уравнении коэффициент a^2x равен а^2, коэффициент x^2 равен 3, коэффициент x равен 0, а свободный член равен 12а + 4.
Для того чтобы у нас было два различных корня, дискриминант D должен быть положительным числом. При этом один из корней будет меньше двух, а другой больше двух.
Таким образом, у нас есть следующее условие:
D > 0, один из корней меньше двух, а другой больше двух.
Вычислим дискриминант D:
D = (а^2)^2 - 4 * 3 * (12a + 4)
D = а^4 - 12(12a + 4)
D = а^4 - 144а - 48
Теперь нам нужно найти такое значение а, при котором дискриминант будет положительным числом. Составим неравенство:
D > 0
а^4 - 144а - 48 > 0
Для решения этого неравенства можно воспользоваться графиком функции а^4 - 144а - 48, либо применить метод подстановки чисел.
Применим метод подстановки чисел. Пусть а = 0:
0^4 - 144 * 0 - 48 = -48, что меньше нуля.
Пусть а = 1:
1^4 - 144 * 1 - 48 = -191, что также меньше нуля.
Пусть а = 2:
2^4 - 144 * 2 - 48 = -228, что также меньше нуля.
Таким образом, наше неравенство не выполняется при а = 0, а = 1 и а = 2.
Продолжим пробовать другие значения а. Пусть а = 3:
3^4 - 144 * 3 - 48 = -105, что также меньше нуля.
Применим другую стратегию и попробуем отрицательные значения а. Пусть а = -1:
(-1)^4 - 144 * (-1) - 48 = 95, что больше нуля.
Теперь у нас есть положительное число при а = -1, значит это искомое значение.
Итак, искомое целое значение а, при котором уравнение 3x^2 + а^2x + 12а + 4 = 0 имеет два корня, один из которых меньше двух, а другой больше двух, равно -1.
Рассмотрим функцию f(x)=3x²+a²x+12a+4. Графиком этой функции служит парабола, ветви которой направлены вверх (это из-за того, что старший коэффициент положительный). Тот факт, что корни этой функции лежат по разные стороны от 2, проверяется условием f(2)<0. Итак, имеем
f(2)=12+2a²+12a+4=2a²+12a+16=2(a²+6a+8)=2(a+4)(a+2)<0 ⇔ a∈(-4;-2).
Поскольку по условию a должно быть целым, делаем вывод, что a= - 3.
ответ: - 3