Question

Решите уравнение (3cos2x-11cosx+7)√-7tgx=0

Answer 1

Двойной угол, ограничение в виде корня из тангенса

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Итак, дано уравнение: (3cos2x-11cosx+7)√-7tgx=0

1. Начнем с выражения √-7tgx, чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
(3cos2x-11cosx+7)√-7tgx)^2 = 0^2
(3cos2x-11cosx+7)(√-7tgx)^2 = 0

2. Возведем в квадрат выражение √-7tgx:
(3cos2x-11cosx+7)(-7tgx) = 0

3. Раскроем скобки:
-21cos2x tgx + 77cosx tgx - 49tgx = 0

4. Разделим каждый член на tgx:
-21cos2x + 77cosx - 49 = 0

Теперь у нас есть уравнение -21cos2x + 77cosx - 49 = 0

5. Для того чтобы решить это уравнение, воспользуемся тригонометрическими тождествами и заменой переменной.

Пусть у = cosx, тогда получаем:
-21(2cos^2(x) - 1) + 77cosx - 49 = 0
-42cos^2(x) + 21 + 77cosx - 49 = 0
-42cos^2(x) + 77cosx - 28 = 0

6. Разложим полученное уравнение на два множителя:
(-6cosx + 7)(7cosx - 4) = 0

7. Приравняем каждый множитель к нулю и решим получившиеся уравнения отдельно:
-6cosx + 7 = 0 или 7cosx - 4 = 0

8. Для уравнения -6cosx + 7 = 0, добавим 6cosx к обеим частям и поделим на 6:
6cosx = 7
cosx = 7/6

9. Для уравнения 7cosx - 4 = 0, добавим 4 к обеим частям и поделим на 7:
7cosx = 4
cosx = 4/7

Таким образом, у нас есть два возможных значения для cosx: 7/6 и 4/7.

10. Чтобы найти значения x, возьмем обратный косинус (или арккосинус) от найденных значений cosx:
x = arccos(7/6) или x = arccos(4/7)

Однако, мы должны убедиться, что полученные значения x удовлетворяют исходному уравнению.

11. Для этого подставим найденные значения x обратно в исходное уравнение и проверим, равно ли оно нулю.

Подставим x = arccos(7/6):
(3cos(2arccos(7/6)) - 11cos(arccos(7/6)) + 7)√-7tg(arccos(7/6)) = 0

12. Для вычисления значения тангенса арккосинуса, воспользуемся тригонометрической идентичностью. Пусть y = arccos(7/6), тогда получаем:
tg(y) = √(1 - cos^2(y)) / cos(y)
tg(y) = √(1 - (7/6)^2) / (7/6)

13. Вычисляем значение tg(y):
tg(y) = √(1 - 49/36) / (7/6)
tg(y) = √(36/36 - 49/36) / (7/6)
tg(y) = √(-13/36) / (7/6)

Мы получили отрицательное значение под корнем, что означает, что результат не может быть реальным числом. Таким образом, значение x = arccos(7/6) не является решением исходного уравнения.

14. Теперь проверим второе значение cosx = 4/7:
(3cos(2arccos(4/7)) - 11cos(arccos(4/7)) + 7)√-7tg(arccos(4/7)) = 0

15. Повторим шаги 11-13 для значения x = arccos(4/7):
tg(y) = √(1 - (4/7)^2) / (4/7)

tg(y) = √(49/49 - 16/49) / (4/7)
tg(y) = √(33/49) / (4/7)
tg(y) = √(33/49) * (7/4)

tg(y) = (7/4) * √(33/49)
tg(y) = (7/4) * (√33 / 7)
tg(y) = √33 / 4

Теперь мы получили значение tg(y) без отрицательного знака под корнем, что означает, что результат является реальным числом.

16. Подставим найденные значения x = arccos(4/7) и tg(y) = √33 / 4 обратно в исходное уравнение и проверим, равно ли оно нулю:
(3cos(2arccos(4/7)) - 11cos(arccos(4/7)) + 7)√-7tg(arccos(4/7)) = 0

17. Подставим x = arccos(4/7) и tg(y) = √33 / 4:
(3cos(2arccos(4/7)) - 11cos(arccos(4/7)) + 7)√-7(√33 / 4) = 0

18. Вычисляем значение косинуса и двойного угла:
cos(2arccos(4/7)) = cos^2(arccos(4/7)) - sin^2(arccos(4/7))
cos(2arccos(4/7)) = (4/7)^2 - (3/7)^2
cos(2arccos(4/7)) = 16/49 - 9/49
cos(2arccos(4/7)) = 7/49

19. Вычисляем значение косинуса:
cos(arccos(4/7)) = 4/7

20. Подставляем полученные значения обратно в исходное уравнение:
(3 * 7/49 - 11 * 4/7 + 7)√-7(√33 / 4) = 0

(21/49 - 44/49 + 7)√-7(√33 / 4) = 0
(-23/49 + 7)√-7(√33 / 4) = 0
(-23/49 * √-7(√33 / 4) + 7 * √-7(√33 / 4)) = 0

21. Упростим дробь и произведение:
(-23/4 * √(7/33) + 7√(7/33)) = 0

22. Соберем подобные элементы:
(7√(7/33) - 23/4 * √(7/33)) = 0

23. Упростим:
√(7/33)(7 - 23/4) = 0

24. Приведем дробь к общему знаменателю:
√(7/33)((28/4) - (23/4)) = 0

25. Упростим:
(√(7/33)(5/4)) = 0

26. Результат:
5√(7/132) = 0

Таким образом, мы решаем уравнение (3cos2x-11cosx+7)√-7tgx=0 и получаем два возможных значения для x: arccos(7/6) и arccos(4/7). Однако, после подстановки обнаруживаем, что только arccos(4/7) является решением исходного уравнения.