x+(x+19)=153
x+x=153-19
2x=134
x=134/2
x=67
ответ: 67
Л е м м а: Пусть -- сумма цифр числа
. Тогда
, если длина
не превосходит
. Иными словами сумма цифр числа, состоящего из девяток, не меняется при умножении на достаточно короткое число.
Д о к а з а т е л ь с т в о достаточно механическое: просто записываем число как
, а разность
считаем в столбик, учитывая перенос единицы.
Теперь пусть дано число . Возьмем число
, тогда его частное с первым числом равно
. Умножим в таком случае
на
. Длина числа
меньше
для всех
, кроме
(что представляет собой тривиальный случай), потому по лемме
.
Обозначим за х получил Саша,а х+19 получил Максим
х+х+19=153
2х=134 х=67
Саша получил 67 замечаний,а Максим 86.