1. Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R, x ≠ +-1.
Так как знаменатель дроби может обратиться в нуль при значениях x = 1 и х = -1, то из области определения функции эти 2 значения выпадают.
2. Функция f (x) = (x2 +1) /(x2-1) непрерывна на всей области определения кроме точек, в которых функция точно не определена (разрыв функции): x = 1 и х = -1.
Область значений функции приведена в пункте 8.
3. Точка пересечения графика функции с осью координат Оу:
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в (x²+1) /(x²-1).
у = (0²+1)/(0²-1) = -1.
Результат: y = 0. Точка: (0; -1).
4. Точки пересечения графика функции с осью координат Ох:
График функции пересекает ось Ох при y=0, значит, нам надо решить уравнение:
(x²+1) /(x²-1) = 0.
Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с Ох:
Для дроби достаточно приравнять нулю числитель:
x² +1 = 0,
x² = -1.
Результат: нет решения. График не пересекает ось Ох.
5. Экстремумы функции:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами (достаточно нулю приравнять числитель): -4x = 0.
Результат: х=0. Точка: (0; -1).
6. Интервалы возрастания и убывания функции:
С учётом двух точек разрыва функции и точки экстремума х = 0, имеем 4 интервала монотонности функции: (-∞; -1), (-1; 0), (0; 1) (1; +∞).
На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
y' = 0,889 - 3,556 0 -3,556 - -0,889
Минимума функции нет.
Максимум функции в точке х = 0, у = -1.
Возрастает на промежутках: (-∞; -1) U (-1; 0).
Убывает на промежутках: (0; 1) U (1; +∞).
7. Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции:
y''=(4(3x² + 1))/(х² - 1)³ = 0.
Приравняем нулю числитель: 4(3x² + 1) = 0.
3x² + 1= 0.
3x² = - 1.
Это уравнение не имеет решения, поэтому у графика нет перегибов.
8. Асимптоты.
Асимтоты бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
а) Вертикальные асимптоты – есть в точках разрыва. Это линии х = -1 и х = 1.
б) Горизонтальная асимптота у графика функции определяется при нахождении предела функции на бесконечности:
С учётом максимума функции в точке (0; -1) и предела значения функции у = 1 определяем область значений функции:
у Є (-∞; -1] U (1; ∞).
в) наклонных асимптот нет. Функция f(x) имеет наклонную асимптоту y = k x + b тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы k и в в уравнении у = kх + в.
〖 k=lim〗┬( x→±∞)〖(f(x))/x.〗
〖b=lim 〗┬( x→±∞)〖[f(x)-kx].〗
Для данной функции первый из этих пределов равен нулю, поэтому наклонная линия не определяется (она совпадает с горизонтальной асимптотой).
9. Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с соотношений f(-x) = f(x) и -f(x) = -f(x). Итак, проверяем:
Решение. За 1 минуту происходит следующее. Паровоз короткого поезда проезжает мимо длинного поезда, а затем весь короткий поезд проезжает мимо паровоза длинного поезда, то есть паровоз короткого поезда проезжает суммарную длину обоих поездов со скоростью, равной сумме скоростей этих поездов. Поэтому можно вначале найти суммарную длину обоих поездов (1500 м), затем разделить ее на время (на 1 минуту), а затем от полученной скорости 1500 м/мин отнять скорость второго поезда (60 км/час, или 1000 м/мин).ответ: 500 м/мин.
Дана функция y = (x^2 + 1)/(x^2 - 1).
1. Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R, x ≠ +-1.
Так как знаменатель дроби может обратиться в нуль при значениях x = 1 и х = -1, то из области определения функции эти 2 значения выпадают.
2. Функция f (x) = (x2 +1) /(x2-1) непрерывна на всей области определения кроме точек, в которых функция точно не определена (разрыв функции): x = 1 и х = -1.
Область значений функции приведена в пункте 8.
3. Точка пересечения графика функции с осью координат Оу:
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в (x²+1) /(x²-1).
у = (0²+1)/(0²-1) = -1.
Результат: y = 0. Точка: (0; -1).
4. Точки пересечения графика функции с осью координат Ох:
График функции пересекает ось Ох при y=0, значит, нам надо решить уравнение:
(x²+1) /(x²-1) = 0.
Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с Ох:
Для дроби достаточно приравнять нулю числитель:
x² +1 = 0,
x² = -1.
Результат: нет решения. График не пересекает ось Ох.
5. Экстремумы функции:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y^'=(2x(x^2-1)-2x*(x^2+1))/(x^2-1)^2 =(2x^3-2x-2x^3-2x)/(x^2-1)^2 =-4x/((x^2 -1)^2 )
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами (достаточно нулю приравнять числитель): -4x = 0.
Результат: х=0. Точка: (0; -1).
6. Интервалы возрастания и убывания функции:
С учётом двух точек разрыва функции и точки экстремума х = 0, имеем 4 интервала монотонности функции: (-∞; -1), (-1; 0), (0; 1) (1; +∞).
На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
y' = 0,889 - 3,556 0 -3,556 - -0,889
Минимума функции нет.
Максимум функции в точке х = 0, у = -1.
Возрастает на промежутках: (-∞; -1) U (-1; 0).
Убывает на промежутках: (0; 1) U (1; +∞).
7. Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции:
y''=(4(3x² + 1))/(х² - 1)³ = 0.
Приравняем нулю числитель: 4(3x² + 1) = 0.
3x² + 1= 0.
3x² = - 1.
Это уравнение не имеет решения, поэтому у графика нет перегибов.
8. Асимптоты.
Асимтоты бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
а) Вертикальные асимптоты – есть в точках разрыва. Это линии х = -1 и х = 1.
б) Горизонтальная асимптота у графика функции определяется при нахождении предела функции на бесконечности:
lim┬(x→±∞)〖(x^2+1 )/(x^2-1)=(x^2/x^2 +1/x^2 )/(x^2/x^2 -1/x^2 )=1/(1-0)=1.〗
Таким образом, горизонтальная асимптота : у = 1.
С учётом максимума функции в точке (0; -1) и предела значения функции у = 1 определяем область значений функции:
у Є (-∞; -1] U (1; ∞).
в) наклонных асимптот нет. Функция f(x) имеет наклонную асимптоту y = k x + b тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы k и в в уравнении у = kх + в.
〖 k=lim〗┬( x→±∞)〖(f(x))/x.〗
〖b=lim 〗┬( x→±∞)〖[f(x)-kx].〗
Для данной функции первый из этих пределов равен нулю, поэтому наклонная линия не определяется (она совпадает с горизонтальной асимптотой).
9. Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с соотношений f(-x) = f(x) и -f(x) = -f(x). Итак, проверяем:
f(-x)=((-x)^2+1)/((-x)^2-1)=(x^2+1)/(x^2-1)=f(x).
3начит, функция является чётной.
10. Таблица точек.
x y
-4.0 1.133
-3.5 1.178
-3.0 1.25
-2.5 1.381
-2.0 1.667
-1.5 2.6
-1.0 -
-0.5 -1.667
0 -1
0.5 -1.667
1.0 -
1.5 2.6
2.0 1.667
2.5 1.381
3.0 1.25
3.5 1.178
4.0 1.133
Подробнее - на -
Пошаговое объяснение: