Question

Исследовать функцию y=(x^3-1)/(4x^2)

Answer 1

ДАНО: F= (x³+4)/x²

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) -  x²≠ 0 - разрыв при Х =0.

Х∈(-∞;0)∪(0;+∞).  

2. Вертикальная  асимптота  - Х = 0.  

3. Поведение в точке разрыва.

limF(o-) = - ∞,  limF(o+) = - ∞

4. Нули функции - пересечение с осью Х.  

x³-1  = 0  при х = 1.  

5. Пересечение с осью У – нет – функция не существует.

6. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна:  Х∈(-∞;0)∪(0;-1). Положительна: Х∈(1;+∞).

7. Наклонная асимптота. Уравнение: lim(∞)(k*x+b – f(x).    

Y(x) =   (x -1/x²)/4 = x. (Разделили на х² - степень знаменателя)

Y(x) = 1/4* x - уравнение наклонной асимптоты .

8. Исследование на чётность.

Y(-x) = (-x³-1)/(4*x²) ≠ - Y(x). Y(-x) = -(-x³+4)/x² ≠ - Y(-x).  

Думаем:  в формуле и чётные степени и нечётные - вывод:

Функция ни чётная ни нечётная.  

9. Поиск экстремумов - в корнях первой производной

Запишем функцию в виде произведения:  Y(x) = (x³+1) * (4*x²)⁻¹.  

Y’(x) = 1/4 + 1/(2*x³) = 0 , упрощаем: 2*x³= -4,  x=∛(-2),  x≈ -1.26 - решение.

10. Локальные экстремумы.  

Максимум  – Хmax = y(∛-2) = -3/(4*∛2)  ≈ - 0,47. Минимума – нет.

11. Интервалы монотонности.  

Возрастает: X∈(-∞;Xmax)∪(0;+∞), убывает - Х∈(Xmax;0)  

12. Вторая производная - Y"(x) = -3/(2*x⁴) = 0.  

13. Точек перегиба - нет (Только в точке разрыва - Х =0)

Выпуклая – «горка» Х∈(-∞;-0)∪(0;+∞).  

14. Область значений Е(у) У∈(-∞;+∞)  

15. График в приложении