Question

Исследовать функцию и построить график y=x^3-12x^2-9x+1

Answer 1

Дано: y = x³ - 12*x² - 9*x + 1

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) = R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая

2. Пересечение с осью OХ. Y(x)=0.

x1*х2*х*х3 = 1

Разложим многочлен на множители. Y=(x-(-0,8)*(x-0,1)*(x-12,7)

Нули функции: Х₁ = -0,8, Х₂ =0,1,  Х₃ =12,7

3. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная - Y(x)<0 X=(-oo;-0,8]U[0,1;12,7]  

Положительная -Y(x)>0 X=[-0,8;0,1]U[12,7;+oo)

4. Пересечение с осью OY. Y(0) =   1

5. Исследование на чётность.  

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная ни нечётная.  

6. Производная функции.Y'(x)= 3*x² -24*x - 9 = 0.  

Корни при Х₄= =0.36, Х₅ = 8.36

 Схема знаков производной - положительная парабола -  отрицательная между корнями..  (-∞)__(>0)__(Х₄)___(<0)___(Х₅)__(>0)_____(+∞)

7. Локальные экстремумы.  

Максимум Ymax(-0.36)= 2.6 , минимум – Ymin(8.36) = - 328,6.  

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х=(-оо;-0,36;]U[8,36;+oo) , убывает - Х=[-0,36;8,36]     9. Вторая производная - Y"(x) = 6*x - 24=0.  

Корень производной - точка перегиба Х₆= 4.  

10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; 4).

Вогнутая – «ложка» Х∈[4; +∞).

11. Область значений:  Е(y) = R,  У = {-oo;+oo}      

12. Таблица, график и шаблон исследования в приложении.