Question

Найти предел функции lim x-> 0 cosx-1/x^2

Answer 1

$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\left\{\frac{0}{0}\right\}$

получаем неопределенность, которую можно раскрыть исспользовав первый замечательный предел

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

Тогда, использовав формулу

$\cos x-1=-2\sin^2\frac{x}{2},$

получим

$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{-2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2}=-2\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\left(\frac{x}{2}\right)^2\cdot4}=-2\cdot\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$