Дано : А1(0;5;0), А2(2;3;-4), А3(0;0;-6), А4(-3;1;-1), a1 {1; -3; 12 } і a2 {12; 2; 0}.
1. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А1 перпендикулярно вектору А1А2 .
Находим вектор А1А2.
А1А2 = (2-0; 3-5; -4-0) = (2; -2; -4).
Вектор А1А2, перпендикулярный к искомой плоскости, является её нормальным вектором.
По этому вектору (2; -2; -4) и точке А1(0; 5; 0) составляем у равнение плоскости по формуле A·(x–xo)+B·(y–yo)+C·(z–zo)=0.
2*x + (-2)*(y – 5) + (-4)*z = 0.
2x – 2y – 4z + 10 = 0 или, сократив на 2:
x – y – 2z + 5 = 0.
2. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки А1 і А2 паралельно вектору a1.
Пусть точка М(x; y; z) расположена в искомой плоскости β . Тогда в плоскости β расположены векторы А1M(x; y - 5; z) ; А1А2(2; -2; -4) и вектор a1(1;- 3; 12).
По условию компланарности смешанное произведение этих трёх векторов должно равняться 0.
Находим смешанное произведение:
| x y - 5 z |
| 2 -2 -4 | = 0 . Решаем эту матрицу по
| 1 -3 12 | схеме Саррюса.
| x y - 5 z | x y - 5
| 2 -2 -4 | 2 -2
| 1 -3 12 | 1 -3 =
=x*(-24) + (y – 5)*(-4) + z*(-6) – (y – 5)*24 – x*12 – z*(-2) =
= -24x – 4y + 20 - 6z – 24y + 120 - 12x + 2z =
= -36x – 28y - 4z + 140 = 0, после сокращения на -4 получаем:
9x + 7y + z – 35 = 0. Это искомое уравнение плоскости.
3. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А2 паралельно векторам a1(1; -3; 12) і a2(12; 2; 0).
Векторы а1 и а2 можно разместить в искомой плоскости. Тогда они будут направляющими векторами этой плоскости (при условии их неколлинеарности).
Тогда нормаль к искомой плоскости получим как векторное произведение её направляющих векторов.
I j k| I j
1 -3 12| 1 -3
12 2 0| 12 2 = 0i + 144j + 2k – 0j – 24i + 36k = -24i + 144j + 38k.
Получили нормальный вектор плоскости (-24; 144; 38).
Примем коллинеарный ему вектор с к = -2: (12; -72; -19)
Уравнение плоскости, проходящей через точку Mo(xo;yo;zo) с нормальным вектором n=(A;B;C) имеет вид A·(x–xo)+B·(y–yo)+C·(z–zo)=0.
Подставим данные: А2(2; 3; -4), n = (12; -72; -19).
12·(x – 2) + (-72)· (y – 3) + (-19)·(z + 4) = 0.
12x - 24 - 72y + 216 - 19z – 76 = 0.
12х - 72y - 19z + 116=0.
О т в е т. 12х - 72y - 19z + 116 = 0.
4. Скласти рівняння площини, яка проходить через три точки А1, А2, А3.
Для составления уравнения плоскости по трём точкам используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение: А1(0;5;0), А2(2;3;-4), А3(0;0;-6).
x - 0 y – 5 z - 0
2 - 0 3 – 5 (-4) - 0
0 - 0 0 – 5 -6 - 0 = 0
x - 0 y – 5 z - 0
2 -2 -4
0 -5 -6 = 0
(x – 0)(-2·(-6)-(-4)·(-5)) – (y – 5)(2·(-6)-(-4)·0) + (z – 0)(2·(-5)-(-2)·0) = 0
(-8)(x – 0) + 12(y – 5) + (-10)(z – 0) = 0
- 8x + 12y - 10z - 60 = 0
4x - 6y + 5z + 30 = 0
ответ: уравнение плоскости 4x - 6y + 5z + 30 = 0.
5. Обчислити відстань d від точки А4 до площини (А1А2А3).
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√A2 + B2 + C2
Подставим в формулу данные:
А4(-3;,1;-1), нормальный вектор плоскости А1А2А3 равен (4; -6; 5) по п.4) .
d = |4·(-3) + (-6)·1 + 5·(-1) + 30|/√42 + (-6)2 + 52 =
= |-12 - 6 - 5 + 30|/√16 + 36 + 25 =
= 7/√77 = √77/11 ≈ 0,07977.
6. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А4 паралельно до площини ( А1А2А3 ) .
Используем формулу A·(x–xo)+B·(y–yo)+C·(z–zo)=0.
Так как искомая плоскость параллельна плоскости А1А2А3,то её нормальный вектор совпадает с нормальным вектором плоскости А1А2А3, координаты которого определены в пункте 4) и равны (4; -6; 5), точка А4(-3;1;-1).
Получаем 4(x + 3) – 6(y – 1) + 5(z + 1) = 0.
4x + 12 – 6y + 6 + 5z + 5 = 0.
4x – 6y + 5z + 23 = 0.
7. Обчислити кут між площинами x - 2y + 3z + 5 = 0 і А1А2А3.
Уравнение плоскости А1А2А3по пункту 4 равно 4x - 6y + 5z + 30 = 0.
Угол между плоскостями x - 2y + 3z + 5 = 0 и 4x - 6y + 5z + 30 = 0
определяем по формуле:
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A12 + B12 + C12) *√(A22 + B22 + C22)).
Подставляем координаты векторов:
cos α = |1·4 + (-2)·(-6) + 3·5|/(√(12 + (-2)2 + 32) *√(42 + (-6)2 + 52))=
= |4 + 12 + 15|/(√(1 + 4 + 9) *√(16 + 36 + 25)) =
= 31/(√14* √77) = 31/√1078 = 31√22154 ≈ 0,94417.
α = 19,2351°
80*4:16==320:16=20
14*33:22==462:22=21
48*16:24=768:24=32
55*21:35=1155:35=33
(353+284):49=637:4913
(1019-787):58=232:58=4
(1169-849):64=320:64=5 (1295+605):76=1990:76=25 1758:586*9=3*9=27
1491:497*13=3*13=39
2604:372*7=7*7=49
1959:653*19=3*19=57
832:26+1081:47=32+23=55
3819:19-126=201-126=75
1218:58+1961:37=21+53=74
22050:63-287=350-287=63 (1699+36*22):47=(1699+792):47=2491:47=53
(4730-45*34):64=(4730-1530):64=
3200:64=50