Добрый день! Рад стать для вас школьным учителем и помочь разобраться в этой задаче.
Итак, мы должны найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = √(x), y = 6 - x и y = 0. Одним из способов решения этой задачи будет графический метод.
Шаг 1: Нарисуйте графики всех трех уравнений на координатной плоскости.
Начнем с графика уравнения y = √(x). Для этого вычислим значения y для нескольких значений x. Например, если x = 0, то y = √(0) = 0. Если x = 1, то y = √(1) = 1. Если x = 4, то y = √(4) = 2. Запомним эти значения и проведем график, соединив точки (0, 0), (1, 1) и (4, 2) линией.
Теперь нарисуем график уравнения y = 6 - x. Заметим, что это уравнение представляет собой прямую линию. Для этого зададим различные значения x и найдем соответствующие значения y. Например, если x = 0, то y = 6 - 0 = 6. Если x = 2, то y = 6 - 2 = 4. Нарисуем прямую, проходящую через точки (0, 6) и (2, 4).
Наконец, проведем график уравнения y = 0. Это горизонтальная линия, проходящая через ось x на уровне y = 0.
Шаг 2: Определите точки пересечения всех линий.
Обратите внимание, что существуют две точки пересечения между графиком уравнения y = √(x) и графиком уравнения y = 6 - x. Чтобы найти эти точки, приравняем их:
√(x) = 6 - x.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
x = (6 - x)^2.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
x = 36 - 12x + x^2.
x^2 + 13x - 36 = 0.
Факторизуем это уравнение или используем квадратные корни, чтобы найти значения x.
(x + 4)(x - 9) = 0.
x1 = -4, x2 = 9.
Таким образом, точки пересечения графиков равны (-4, √(4)) и (9, √(9)).
Шаг 3: Определите интервалы составляющие площадь фигуры.
Рассматривая график, мы видим, что фигура ограничена линиями y = √(x), y = 6 - x и y = 0.
На интервале [-4, 0] график y = √(x) находится выше оси x.
На интервале [0, 4] график y = √(x) находится ниже графика y = 6 - x.
Наконец, на интервале [4, 9] график y = 6 - x находится выше оси x.
Шаг 4: Найдите площадь каждой составляющей фигуры.
Чтобы найти площадь каждой составляющей фигуры, мы должны использовать площадь под кривой и формулу для площади треугольника.
Сначала найдем площадь фигуры, ограниченной графиками y = √(x) и y = 0. Поскольку эта фигура представляет собой положительную половину параболы, ее площадь равна:
1/2 * ∫[0, 4] √(x) dx.
Определим интеграл:
1/2 * ∫[0, 4] √(x) dx = 1/2 * [2/3 * x^(3/2)] (от 0 до 4).
= 1/2 * [2/3 * 4^(3/2) - 2/3 * 0^(3/2)].
= 1/2 * [2/3 * 8 - 0].
= 1/2 * 16/3.
= 8/3.
Таким образом, площадь фигуры ограниченная графиками y = √(x) и y = 0 равна 8/3.
Теперь найдем площадь треугольника, ограниченного графиками y = 6 - x и y = 0. Формула для площади треугольника - это половина произведения его основания и высоты. В этом случае, высота треугольника равна 6, а основание равно 4. Таким образом, площадь этого треугольника равна:
1/2 * 4 * 6 = 12.
Итак, площадь треугольника, ограниченного графиками y = 6 - x и y = 0, равна 12.
Шаг 5: Сложите площади всех составляющих фигур.
Площадь фигуры, ограниченной графиками y = √(x), y = 6 - x и y = 0, равна сумме площадей этих составляющих фигур:
8/3 + 12 = 8/3 + 36/3 = 44/3.
Таким образом, площадь фигуры составляет 44/3 единицы площади.
Надеюсь, эти пошаговые инструкции помогли вам понять, как найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Удачи!
Итак, мы должны найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = √(x), y = 6 - x и y = 0. Одним из способов решения этой задачи будет графический метод.
Шаг 1: Нарисуйте графики всех трех уравнений на координатной плоскости.
Начнем с графика уравнения y = √(x). Для этого вычислим значения y для нескольких значений x. Например, если x = 0, то y = √(0) = 0. Если x = 1, то y = √(1) = 1. Если x = 4, то y = √(4) = 2. Запомним эти значения и проведем график, соединив точки (0, 0), (1, 1) и (4, 2) линией.
Теперь нарисуем график уравнения y = 6 - x. Заметим, что это уравнение представляет собой прямую линию. Для этого зададим различные значения x и найдем соответствующие значения y. Например, если x = 0, то y = 6 - 0 = 6. Если x = 2, то y = 6 - 2 = 4. Нарисуем прямую, проходящую через точки (0, 6) и (2, 4).
Наконец, проведем график уравнения y = 0. Это горизонтальная линия, проходящая через ось x на уровне y = 0.
Шаг 2: Определите точки пересечения всех линий.
Обратите внимание, что существуют две точки пересечения между графиком уравнения y = √(x) и графиком уравнения y = 6 - x. Чтобы найти эти точки, приравняем их:
√(x) = 6 - x.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
x = (6 - x)^2.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
x = 36 - 12x + x^2.
x^2 + 13x - 36 = 0.
Факторизуем это уравнение или используем квадратные корни, чтобы найти значения x.
(x + 4)(x - 9) = 0.
x1 = -4, x2 = 9.
Таким образом, точки пересечения графиков равны (-4, √(4)) и (9, √(9)).
Шаг 3: Определите интервалы составляющие площадь фигуры.
Рассматривая график, мы видим, что фигура ограничена линиями y = √(x), y = 6 - x и y = 0.
На интервале [-4, 0] график y = √(x) находится выше оси x.
На интервале [0, 4] график y = √(x) находится ниже графика y = 6 - x.
Наконец, на интервале [4, 9] график y = 6 - x находится выше оси x.
Шаг 4: Найдите площадь каждой составляющей фигуры.
Чтобы найти площадь каждой составляющей фигуры, мы должны использовать площадь под кривой и формулу для площади треугольника.
Сначала найдем площадь фигуры, ограниченной графиками y = √(x) и y = 0. Поскольку эта фигура представляет собой положительную половину параболы, ее площадь равна:
1/2 * ∫[0, 4] √(x) dx.
Определим интеграл:
1/2 * ∫[0, 4] √(x) dx = 1/2 * [2/3 * x^(3/2)] (от 0 до 4).
= 1/2 * [2/3 * 4^(3/2) - 2/3 * 0^(3/2)].
= 1/2 * [2/3 * 8 - 0].
= 1/2 * 16/3.
= 8/3.
Таким образом, площадь фигуры ограниченная графиками y = √(x) и y = 0 равна 8/3.
Теперь найдем площадь треугольника, ограниченного графиками y = 6 - x и y = 0. Формула для площади треугольника - это половина произведения его основания и высоты. В этом случае, высота треугольника равна 6, а основание равно 4. Таким образом, площадь этого треугольника равна:
1/2 * 4 * 6 = 12.
Итак, площадь треугольника, ограниченного графиками y = 6 - x и y = 0, равна 12.
Шаг 5: Сложите площади всех составляющих фигур.
Площадь фигуры, ограниченной графиками y = √(x), y = 6 - x и y = 0, равна сумме площадей этих составляющих фигур:
8/3 + 12 = 8/3 + 36/3 = 44/3.
Таким образом, площадь фигуры составляет 44/3 единицы площади.
Надеюсь, эти пошаговые инструкции помогли вам понять, как найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Удачи!