Question

Дано: bk-высота треугольника abc, ab=7, bc=3, m не пренадлежит плоскости abc, mb=4, am=√65, cm=5. доказать: mb перпендикулярна плоскости abc, ac перпендикулярна плоскости kbm

Answer 1

Для доказательства перпендикулярности нужно показать, что векторы MB и AC перпендикулярны плоскостям ABC и KMB соответственно.

Для начала, рассмотрим плоскость ABC.
Известно, что BC = 3, MB = 4 и CM = 5. Используя теорему косинусов в треугольнике MBC, мы можем найти угол MBC:
cos(MBC) = (MB^2 + BC^2 - CM^2) / (2 * MB * BC)
cos(MBC) = (4^2 + 3^2 - 5^2) / (2 * 4 * 3)
cos(MBC) = (16 + 9 - 25) / (24)
cos(MBC) = 0 / 24
cos(MBC) = 0

Так как cos(MBC) = 0, то угол MBC равен 90 градусов. Это означает, что отрезок MB перпендикулярен плоскости ABC.

Теперь рассмотрим плоскость KMB.
Известно, что AM = √65 и BM = 4. Используя теорему Пифагора в треугольнике AMB, мы можем найти длину отрезка AM:
AM^2 = AB^2 + BM^2
√65^2 = 7^2 + 4^2
65 = 49 + 16
65 = 65

Таким образом, длина отрезка AM соответствует условию. Это означает, что точка M лежит на окружности с центром в точке A и радиусом AM. Вспомним, что точка M не лежит в плоскости ABC, а лежит на плоскости KMB. Значит, плоскость KMB перпендикулярна отрезку AC.

Таким образом, мы доказали, что отрезок MB перпендикулярен плоскости ABC и отрезок AC перпендикулярен плоскости KMB.