Question

Повне дослідження функції y=x/x^2-4

Answer 1

Дано:    Y = x/(x²-4)

Исследование:

1. Область определения: В знаменателе: х² - 4 = (х-2)*(х+2)

D(y)= X≠ 2, X∈(-∞;-2)∪(-2;2)∪(2;+∞).

Не допускаем деления на 0 в знаменателе. Два разрыва.

2.Поведение в точках разрыва.

LimY(-2-)= -∞, LimY(-2+)= -∞. Вертикальная асимптота - х = -2.  

LimY(2-)= -∞, LimY(2+)= +∞. Вертикальная асимптота - х = 2.  

Неустранимые разрывы II-го рода.

3. Поведение на бесконечности - наклонная асимптота.  

k = lim(+∞)Y(х)/x = 1/(x²- 4) = 0 - коэффициент наклона.  y = 0 - горизонтальная асимптота.

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x) = 0.  Х=0.

5. Пересечение с осью ОУ. Y(0)= 0.

6. Интервалы знакопостоянства.  

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;-2)∪(0;-2).

Положительна: Y>0 - X∈(-2;0)∪(2;+∞).

7. Проверка на чётность. Сдвига по осям ОХ и ОУ - нет.  

Функция нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x)  - центральная симметрия.

8. Поиск экстремумов по первой производной.    

y'(x) = 1/(x²-4) - 2*x/(x²-4)² = 0. Корней - нет.

9. Локальные максимумы  - нет.

10. Интервалы монотонности.  

Убывает: X∈(-∞;-2)∪(-2;2)∪(2;+∞) = D(y) - везде, где существует.

11. Поиск перегибов по второй производной.  

y''(x) =2*x*(x²+12)/(x²-4)³ = 0.

Точки перегиба: Х₁ = -2, X₂ = 0, X₃ = 2.    

12. Выпуклая - 'горка' - X∈(-∞;-2)∪(0;2).

Вогнутая - 'ложка'- X∈(-2;0)∪(2;+∞;).

13. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).  

14. График функции на рисунке в приложении.