Question

Решить неравенство log₂(x-5) +log3 (x)< 4(логарифм (х+5) по основанию 2 плюс логарифм х по основанию 3 меньше или равно 4)

Answer 1

Для решения данного неравенства, нам необходимо использовать свойства логарифмов.

1. Сначала преобразуем левую часть неравенства. Пользуясь свойством логарифмов, мы знаем, что log(a) + log(b) = log(ab). Применим это свойство:

log₂(x-5) + log₃(x) = log₂((x-5) × x) = log₂(x² - 5x)

2. Теперь перепишем исходное неравенство с учетом преобразований:

log₂(x² - 5x) ≤ 4 + log₂(x+5)

3. Избавимся от логарифмов, применив эквивалентное преобразование: если log₂(a) ≤ log₂(b), то a ≤ b. Применим это знание к нашему неравенству:

x² - 5x ≤ 2⁴ * (x+5) = 16(x+5)

4. Упростим полученное неравенство:

x² - 5x ≤ 16x + 80

5. Перенесем все слагаемые влево и упростим:

x² - 5x - 16x - 80 ≤ 0
x² - 21x - 80 ≤ 0

6. Факторизуем левую часть неравенства:

(x - 16)(x + 5) ≤ 0

7. Рассмотрим каждый множитель отдельно:
- (x - 16) ≤ 0
- (x + 5) ≤ 0

8. Решим каждое уравнение:
- (x - 16) ≤ 0:
x ≤ 16
- (x + 5) ≤ 0:
x ≤ -5

9. Найдем значения, при которых неравенство выполняется. Мы хотим, чтобы оба множителя были меньше или равны нулю, поэтому нужно рассмотреть три случая:
- x ≤ -5:
В этом случае оба множителя отрицательны, и неравенство выполняется.
- -5 ≤ x ≤ 16:
Только множитель (x + 5) будет положительным, а (x - 16) отрицательным. Такого значения x, при котором оба множителя меньше или равны нулю, не существует.
- x ≥ 16:
В этом случае оба множителя положительны, и неравенство не выполняется.

10. Окончательный ответ: x ≤ -5. Ответом на неравенство будет любое число x, которое меньше или равно -5.

Это детальное пошаговое решение позволит школьнику понять, как мы пришли к ответу и как использовали свойства логарифмов и эквивалентные преобразования для решения неравенства.