Человек, гуляющей в лесу, находится в 5 км от прямолинейной дороги и в 13 км от дома, стоящего у дороги. скорость его передвижения в лесу 3км/ч, а по дороге – 5 км/ч. найдите наименьшее время, за которое он сможет прийти домой. решить с производной, уравнения и рисунка.
1. Сначала нарисуем схематический рисунок для наглядности. Представим, что лес и дорога находятся на одной прямой, и человек находится где-то в лесу между домом и дорогой.
Дом----------Человек----Лес----Дорога
2. Обозначим расстояние от человека до дома через х километров. Тогда расстояние от человека до дороги будет равно 5 - х километров.
3. Для нахождения времени, за которое человек сможет прийти домой, воспользуемся формулой времени (время = расстояние / скорость).
4. Первый участок пути для человека будет в лесу. Расстояние в лесу равно х километров, а скорость передвижения в лесу составляет 3 км/ч. Таким образом, время, затраченное на этот участок, будет равно х / 3 часа.
5. Второй участок пути для человека будет по дороге. Расстояние на дороге равно 5 - х километров, а скорость передвижения по дороге составляет 5 км/ч. Время, затраченное на этот участок, будет равно (5 - х) / 5 часа.
6. Общее время пути составляется сложением времени на каждом участке. Таким образом, общее время пути в часах можно записать как:
время = время в лесу + время на дороге
= х / 3 + (5 - х) / 5
7. Теперь можно найти наименьшее время. Для этого необходимо найти минимум функции времени. Для нахождения минимума функции воспользуемся производной и приравняем ее к нулю:
(дифференцирование по х) d(время) / dx = 1/3 - 1/5 = 0
1/3 - 1/5 = 1/15
8. Решим уравнение 1/15 = 0:
1/15 = 0
1 = 0 * 15
1 ≠ 0
Получили противоречие, что значит производная равна нулю на самом деле. Значит, у функции нет минимума или максимума.
9. Поскольку функция не имеет минимума, то чтобы найти наименьшее время, нам нужно посмотреть границы области определения функции. В данном случае, значение х может находиться в пределах от 0 до 5 (т.к. человек находится в 5 км от дороги).
10. Подставим границы области определения в функцию времени и найдем наименьшее значение:
Для х = 0:
время = 0 / 3 + (5 - 0) / 5 = 0 + 5 / 5 = 1 час
Для х = 5:
время = 5 / 3 + (5 - 5) / 5 = 5 / 3 + 0 / 5 = 5 / 3 часа
Следовательно, наименьшее время, за которое он сможет прийти домой, равно 1 час.
Таким образом, человеку потребуется 1 час, чтобы дойти домой.