а) на доске выписаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. после семи таких операций на доске будет только одно число. может ли оно равняться 97?
б) на доске выписаны числа 1, 21, 2², 2³, 210. разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. после нескольких таких операций на доске будет только одно число. чему оно может быть равно?
решение
a) получить 97 можно, например, так. последовательно вычитая из 16 числа 8, 4, 2, 1, получим 1. на доске остались числа 1, 32, 64, 128. далее: бикю 64 – 32 = 32, 32 – 1 = 31, 128 – 31 = 97.
б) докажем, что если на доске выписаны числа 1, 2, 2n, то после n операций, описанных в условии, может получиться любое нечётное число от 1 до 2n – 1. очевидно, числа, большие 2n, на доске не появляются. легко видеть также, что на доске всегда присутствует ровно одно нечётное число. значит, и последнее оставшееся на доске число нечётно. утверждение о том, что все указанные числа построить можно, докажем индукцией по n.
база. имея числа 1 и 2, можно получить только число 1.
шаг индукции. пусть на доске выписаны числа 1, 2, 2n+1. любое нечётное число, меньшее 2n, можно получить за n + 1 операцию (на первом шаге сотрём 2n+1 и 2n и напишем 2n, далее по предположению индукции). нечётные числа от 2n + 1 до 2n+ 1 – 1 можно записать в виде 2n+1 – a, где число a можно получить из набора 1, 2, 2n. на последнем шаге из 2n+1 вычитаем a.
ответ
а) может; б) любому нечётному числу от 1 до 210 – 1.
замечания
: 2 + 3
100-(26+14)=60
Потому,что...
26+14=40
100-40=60
b+(12+40)=b52
Потому,что...
мы сначала складываем 12 и 40 получится 52.
а b мы не знаем что,поэтому b52
85-(а-10)=85-10а
Потому,что...
мы не знаем чему равно а поэтому записываем так,а так как
везде знаки минус поэтому и в ответе будет знак минус.
b-30=b30
Потому,что...
b-любое число и мы отнимаем от b 30 поэтому и получается так.
900+(700-600)=1000
Потому,что...
если от 700 отнять 600 то получим 100 и потом к этим 100 прибавим 900 получим 1000.
300+(200-100)=400
Потому,что...
сначала мы от 200 отнимаем 100 равно аналогично 100,потом к 300 прибавляем 100 равно 400.
600-200-100=300
Потому,что...
мы от 600 отнимает 200 получаем 400 и отнимаем от 400 ещё 100 равно 300.
78+(d-40)=78+d40
Потому,что...
d-это любое натуральное число,поэтому можно написать только так или даже короче: 118d