Question

Варифметической прогрессии а18=-41, a39=1. определите, при каком натуральном n сумма первых n её членов равна нулю.

Answer 1

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии.
Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии:
Sn = (n/2)(2a + (n-1)d), где Sn - сумма первых n членов арифметической прогрессии, a - первый член прогрессии, d - разность прогрессии.

В данной задаче нам известны значения a18 и a39:

a18 = -41
a39 = 1

Нам также нужно найти значение разности прогрессии d. Для этого воспользуемся формулой для нахождения разности прогрессии:

d = (an - a1)/(n-1), где an - n-й член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, n - номер члена прогрессии.

Для нахождения разности прогрессии, нам нужно знать значение a1 и an (в данном случае a18 и a39). Рассмотрим данную арифметическую прогрессию:

a18 = a1 + 17d
a39 = a1 + 38d

Мы можем решить эту систему уравнений для нахождения значения a1 и d. Представим второе уравнение в виде a1 = a39 - 38d и подставим его в первое уравнение:

a18 = (a39 - 38d) + 17d
a18 = a39 - 21d

Теперь у нас есть выражение для a18 через a39 и d. Подставим значение a18 = -41:

-41 = a39 - 21d
a39 = -41 + 21d

Теперь мы можем найти значение разности прогрессии d. Выразим d, подставив значение a39 = 1:

1 = -41 + 21d
21d = 42
d = 2

Теперь, когда у нас есть значение разности прогрессии d = 2, мы можем найти значение первого члена прогрессии a1. Воспользуемся формулой:

a1 = a39 - 38d
a1 = 1 - 38(2)
a1 = 1 - 76
a1 = -75

Теперь у нас есть значения первого члена прогрессии a1 = -75 и разности прогрессии d = 2.

Для нахождения значения, при котором сумма первых n членов равна нулю, мы можем использовать формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn:

Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)

Задача состоит в том, чтобы приравнять Sn к нулю и найти соответствующее значение n. Подставим значения a1 = -75 и d = 2 в формулу Sn:

0 = (n/2)(2*(-75) + (n-1)*2)

0 = (-75n + 150 + 2n^2 - 2n) / 2
0 = -75n + 150 + n^2 - n

Перенесем все слагаемые в правую часть уравнения:

0 = n^2 - 76n + 150

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью факторизации или квадратного корня. Факторизируем уравнение:

(n - 6)(n - 25) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения для n: n = 6 и n = 25. Это означает, что сумма первых 6 членов и сумма первых 25 членов арифметической прогрессии равна нулю.

Таким образом, ответом на вопрос будет: при натуральном n, равном 6 или 25, сумма первых n членов арифметической прогрессии будет равна нулю.