Стороны bc и ac треугольника abc касаются соответствующих снаружи вписанных кругов в точках a1, b1. пусть a2, b2 - ортоцентр треугольников caa1 и cbb1. правильно ли утверждение, что прямая a2b2 перпендикулярна биссектрисе угла c?
Опустим из B и A1 высоты на AC соответственно в точки B3 и B4 , аналогично построим точки A3 и A4 (рис.). Заметим, что AB1=BA1=p-c , где p — полупериметр треугольника ABC . Таким образом, A3A4=B3B4=(p-c) cosγ . Отрезки A3A4 и B3B4 являются проекциями отрезка A2B2 на прямые AC и BC , но эти отрезки равны, поэтому отрезок A2B2 с ними составляет равные углы. Значит, он либо перпендикулярен биссектрисе угла C , либо параллелен ей. Обозначим ортоцентр треугольника ABC за H . Заметим, что так как B1 лежит на отрезке AC , то A4 лежит на отрезке A3C , а значит B2 лежит на луче HB3 . Аналогично A2 лежит на луче HA3 . Значит, биссектриса угла A3HB3 пересекает отрезок A2B2 . Но эта биссектриса параллельна биссектрисе угла ACB (так как в четырёхугольнике HA3CB3 углы A3 и B3 — прямые). Таким образом, получаем, что A2B2 не параллелен биссектрисе угла C , значит, он ей перпендикулярен, что и требовалось доказать.
Обозначим мешочки курсивом 1. Если в 1+ 3 =52 ореха, то 3+ 4+5 =100-52=48 (орехов), но в 4+5 =30 орехов, значит в 3 : 48-30 =18 (орехов) 2. Если в 3+4 =34 ореха, то в 4: 34-18 = 16 (орехов) 3 .Если в 4+5 = 30 орехов, то в 5: 30-16 = 14 (орехов) 4. Если в 2+3 = 43 ореха, то во 2: 43-18 = 25 (орехов) 5. Если в 1+2 = 52 ореха, то в 1: 52-25 = 27 (орехов) Проверка: 18+16+14+25+27=100(орехов), что соответствует условию. ответ: в первом мешочке 27 орехов, во втором 25, в третьем 18, в четвертом 16, в пятом 14 орехов.
Опустим из B и A1 высоты на AC соответственно в точки B3 и B4 , аналогично построим точки A3 и A4 (рис.). Заметим, что AB1=BA1=p-c , где p — полупериметр треугольника ABC . Таким образом, A3A4=B3B4=(p-c) cosγ . Отрезки A3A4 и B3B4 являются проекциями отрезка A2B2 на прямые AC и BC , но эти отрезки равны, поэтому отрезок A2B2 с ними составляет равные углы. Значит, он либо перпендикулярен биссектрисе угла C , либо параллелен ей. Обозначим ортоцентр треугольника ABC за H . Заметим, что так как B1 лежит на отрезке AC , то A4 лежит на отрезке A3C , а значит B2 лежит на луче HB3 . Аналогично A2 лежит на луче HA3 . Значит, биссектриса угла A3HB3 пересекает отрезок A2B2 . Но эта биссектриса параллельна биссектрисе угла ACB (так как в четырёхугольнике HA3CB3 углы A3 и B3 — прямые). Таким образом, получаем, что A2B2 не параллелен биссектрисе угла C , значит, он ей перпендикулярен, что и требовалось доказать.