Question

Найдите все значения a, при которых уравнение имеет ровно два различных корня.

Answer 1

х^2-10х+а^2=(х-5)(х+5)

а=5 и а=-5

х^2-10х+25

d=√(-10)^2-4*25=0

x1=10/2=5

x2=-5

ответ: 5 и (-5)

Answer 2

64^x+(a-4)*9^x +(4-2a)=0
1)a=4
64^x-4=0
4^3x=4
3x=1
x=1/3
2)a=2
64^x-2*9^x=0
64^x=2*9^x /9^x
(64/9)^x=2
x=log(64/9)2

Answer 3

12; 48

Пошаговое объяснение:

$(x+4)(x^2-4x+16)-a(x+4)=0\\(x+4)(x^2-4x+16-a)=0$

Уравнение обязательно имеет одно решение: x = -4. Квадратное уравнение во второй скобке может иметь 0, 1 или 2 решения. Очевидно, нужно рассматривать последние два случая.

1. Если квадратное уравнение имеет одно решение, то оно должно отличаться от x = -4, так как требуется найти два различных решения.

2. Если квадратное уравнение имеет два решения, то одно из них должно равняться x = -4.

Случай 1:  $x^2-4x+16-a=0$ — 1 решение.

$D=16-4(16-a)=0\Leftrightarrow a=12$

При a = 12 $x^2-4x+4=0\Leftrightarrow x=2\neq -4$ — подходит.

Случай 2: $x^2-4x+16-a=0$ — 2 решения, одно из них x = -4.

$(-4)^2-4\cdot(-4)+16-a=48-a=0\Leftrightarrow a=48$

При a = 48 $x^2-4x-32=0\Leftrightarrow x=-4;8$ — подходит.

Answer 4

a∈(-∞;-5)U(-5;0)U(0;3)U(3;4)U(4;5)

Объяснение:

Answer 5

Воспользуемся формулой $|x| = \sqrt{x^{2} }$ :

$\sqrt{(2^{x} -2)^{2} } =\sqrt{a^{2} } \\$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{(2^{x} -2)^{2} })^{2} =(\sqrt{a^{2} })^{2} \\ (2^{x} -2)^{2} =a^{2} \\(2^{x} -2)^{2}-a^{2} =0\\(2^{x} -2-a)(2^{x} -2+a) = 0\\$

Рассмотрим 3 случая :

1.

$2^{x} -2-a = 0\\ 2^{x} -2+a \neq 0\\$

----------------------

$2^{x}= 2+a$

Мы знаем, что любое число(кроме 0) в любой степени больше нуля, то есть 2+а > 0 => a>-2

$2^{x} \neq 2-a\\$

Так же 2-а уже должно быть меньше или равно нулю:

2-a ≤ 0 => a ≥ 2

Найдем пересечение => a ≥ 2

2.

По тому же принципу :

$2^{x} -2-a \neq 0 = 2^{x} \neq 2+a = a\leq -2\\2^{x} -2+a=0 = 2^{x}=2-a= a< 2$

Найдем пересечение => a ≤-2

3.

$2^{x} -2-a=2^{x} -2+a\\-a = a\\2a = 0\\a = 0$

----------------------------------------------------------------------

Объединим три ответа => a Є (-∞ ; -2] U [2 ; +∞)

ответ : a Є (-∞ ; -2] U [2 ; +∞) U {0}

P.S это одно из возможных решений, возможно вы найдете и по проще)

Answer 6

Запомнив, что $a\ge x\ge4$ перепишем уравнение как

$\sqrt{x-4}=\sqrt{a}-\sqrt{x}$

и возведем в квадрат:

$x-4=a+x-2\sqrt{ax}\\ 2\sqrt{ax}=a+4\\ 4ax=(a+4)^2\\ x=\dfrac{(a+4)^2}{4a}$

Последний переход справедлив, так как a!=0.

Проверим условие a>=x:

$\dfrac{(a+4)^2}{4a}\le a\\ 4a^2\ge(a+4)^2\\ 2a\ge a+4$

Неравенство, как и следовало ожидать, выполняется при всех a>=4.

Итак, уравнение имеет ровно 1 корень при a>=4, равный (a+4)^2/4a. 

ответ. Такого а не существует.

Answer 7

После того,как мы нашли промежутки возрастания и убывания. Нужно найти значения функции в данных точках (-1 и 5). После этого мы можем уже построить график и убедиться,что три решения будет на промежутке [-99;9]

Answer 8

Это биквадратное уравнение, стандартно имеет 4 решения, а 2 только в вырожденном случае, когда трёхчлен - полный квадрат, то есть d^2=49, d=+-7.

В этом случае получается

(x^2-7)^2=0, то есть эти 2 различных корня

x=+-sqrt(7)

Answer 9

ОДЗ:
{x>a
{x>-a
Проведем замену $log_7 \frac{x+a}{x-a} =t$ и получим уравнение
t²-8at+12a²+8a-4=0
D=(4a-4)². Случай когда D=0 (a=1) нам не подходит, отметим это, во всех остальных случаях
t1=6a-2
t2=2a+2
Теперь вернемся к замене
$log_7 \frac{x+a}{x-a} =6a+2$
$log_7 \frac{x+a}{x-a} =6a+2$
Найдем x из первого уравнения:
$\frac{x+a}{x-a} =7^{6a-2}=b \\ x+a=7^{6a-2}x-7^{6a-2}a \\ x(1-7^{6a-2})=-a(1+7^{6a-2}) \\ x_1= \frac{-a(1+7^{6a-2})}{1-7^{6a-2}} = \frac{a(7^{6a-2}+1)}{7^{6a-2}-1}$
Проделав такую же штуку со вторым уравнением получим
x_2=\frac{a(7^{2a+2}+1)}{7^{2a+2}-1}
Нам нужно чтобы оба корня были решениями, то есть чтобы они принадлежали ОДЗ.
Если а<0, то система которую я записал в самом начале равносильна неравенству x>-a
Нам нужно чтобы оба корня принадлежали одз одновременно
Решаем систему:
{a<0
{x₁>-a
{x₂>-a
В этом случае получаем a<-1.
Пусть теперь а>0, тогда система будет такая
{a>0
{x₁>a
{x₂>a
Получаем а>1/3. Вспоминаем что a≠1 и объединяем решения.
ответ: a∈(-oo; -1)∪(1/3; 1)∪(1;+oo)

Answer 10

Положим что b это один из корней уравнения, тогда
(x-b)*(ax^2+n*x+m)=ax^3+2x^2+8x+4
Открывая и приравнивая соответствующие коэффициенты
{n-a*b=2,
{m-b*n=8,
b*m=-4,
{n^2=4*a*m ( условие дискриминанта равному 0)

Откуда
{b^2*(2+ab)+8b=-4
{b*(2+ab)^2=-16*a

Поделив
b/(2+ab)=(1+2b)/(4a)
4ab=(2+ab)(1+2b)
a=(4b+2)/(3b-2b^2)
Подставляя во второе

b*(2+(4b+2)/(3-2b))^2+16*(4b+2)/(3b-2b^2)=0
Откуда
b=1-/+sqrt(5/2)
Значит
a=(-28+-sqrt(1000))/27
и очевидно при a=0

Answer 11

Разложим левую часть на множители.
$(|x-7| - |x-a|)^2 - 13a( |x-7| - |x-a| ) + 30a^2+ 21a - 9 = 0 \\ D=169a^2-4(30a^2+21a-9)=49a^2-84a+36=(7a-6)^2 \\ (|x-7|-|x-a|-10a+3)(|x-7|-|x-a|-3a-3)=0$
Уравнения |x-7|-|x-a|=10a-3 и |x-7|-|x-a|=3a+3 либо имеют одно решение, либо имеют бесконечно много решений, либо вообще решений не имеют. Нас устраивает случай когда каждое из этих уравнений имеет одно решение. Легко понять, что для существования этого единственного решения модули должны раскрываться с разными знаками.
Пусть a>7, тогда, раз модули модули должны раскрыться с разными знаками, x∈[7; a). Разбираемся с первым уравнением, модули раскроются так:
x-7-a+x=10a-3
2x=11a+4
x=(11a+4)/2. Этот x должен принадлежать рассматриваемому промежутку, получаем систему:
{a>7
{7≤(11a+4)/2<a
Решений нет, а значит сразу переходим к случаю a<7 (a=7 можно пропустить, так как такой а, очевидно, нам не подходит)
Нужный промежуток: x∈[a; 7)
Раскрываем модули, преобразовываем и получаем 
x=(10-9a)/2
Решаем систему:
{a<7
{a≤(10-9a)/2<7
Получаем: -4/9<a≤10/11
Переходим ко второму уравнению, раскрываем модули на том же промежутке для a<7 и получаем x=2-2a. Решаем систему:
{a<7
{a≤2-2a<7
Получаем -5/2<a≤2/3. Пересекаем решения и получаем:
-4/9<a≤2/3
Проверь все сам, я мог где то и ошибиться.

Answer 12

Сделал графическое решение задачи - в приложении.
Не только графики модуля, но и их сумма и решение.
Три корня - три точки получаются при пересечении с графиком
У4 = 5.
И это корни - х1 = 0,75, х2 = 3 и х3 = 5,25

Answer 13

у нас есть р≠-4, тогда
[-4,5;-4)∪(-4;0,5]
Теперь отвечаем на вопросы:
а. наименьшее целое: -3
б. промежуток [-4,5;-4)∪(-4;0,5]
в. имеет один корень когда Д=0, а это наши корни: р1=0,5 и р2=-4,5, а их сумма = -4.

Answer 14

Уравнение имеет одно решение, если один из одночленов равен 0, или
$\left[\begin{array}{ccc}a-4=0\\4-2a=0\end{array}$
$\left[\begin{array}{ccc}a=4\\a=2\end{array}$
Тогда решением уравнения будет
$\left[\begin{array}{ccc}64^{x}-4=0\\64^{x}-2*9^{x}=0\end{array}$
$\left[\begin{array}{ccc}4^{3x}=4\\64^{x}=2*9^{x}\end{array}$
$\left[\begin{array}{ccc}3x=1\\ (\frac{64}{9}) ^{x}=2\end{array}$
$\left[\begin{array}{ccc}x= \frac{1}{3} \\ x=log_ \frac{64}{9} 2\end{array}$