(−GМ/r) + v2/2 = −GM / ro,
где М — масса Солнца, ro — начальное расстояние (радиус орбиты Земли), r — текущее расстояние, G — гравитационная постоянная, v (r) — скорость Земли.
Можно получить скорость, но не как функцию времени, а как функцию расстояния до Солнца. Причем скорость отрицательна, потому что мы ее здесь рассматриваем как производную расстояния по времени, а это расстояние с течением времени сокращается. Поэтому нужно взять отрицательный квадратный корень. Выражение имеет вид dr / dt = f (r). Его нужно записать чуть иначе, в виде dr / f(r) = dt. Потом проинтегрировать левую часть по rот ro и до нуля. А правая часть после интегрирования — это просто время t, которое мы ищем. Оно равно тому что получится в левой части. Интегрируем и получаем время. Интеграл несложный, есть в таблицах и онлайн тоже. Время удобно выразить через "нормальный" период вращения Земли T, получаем t = T / (4√2).
Это хорошо согласуется также и с Третьим законом Кеплера, которым здесь предлагают воспользоваться. Действительно, малая полуось эллипса падает до нуля, а большая уменьшается в два раза. Потому что большая ось целиком равна теперь радиусу земной орбиты, а полуось — половине этого радиуса. Ну а по закону Кеплера, если радиус падает в два раза, то период — в 2√2. Для падения нужна только половина периода, поэтому "время падения" на Солнце в 4√2 раз меньше периода вращения Земли. Приблизительно 65 дней.
