Перед союзом "и" ставится запятая, если союз соединяет части сложного предложения.
С боков дорожки росла сирень, и в самой глуши сада стояла беседка. – запятая ставится, так как союз "и" соединяет две грамматические основы: "росла сирень" и "стояла беседка".
Во втором предложении запятая не ставится, так как союз "и" соединяет однородные члены (однородные сказуемые): "капли застучали и зашлёпали".
В третьем предложении союз "и" также соединяет однородные члены (однородные сказуемые): "ветерок пробежал и затих"
Кончился дождь, и высохли капельки воды на листьях. – запятая ставится, так как союз "и" соединяет две грамматические основы: "кончился дождь" и "высохли капельки".
