Один молодой афинянин (подлежащее) обратился (простое глагольное сказуемое) в суд.
Он (подлежащее) утверждал (простое глагольное сказуемое), что его одряхлевший отец (подлежащее) выжил из ума (составное именное сказуемое) и потому не может распоряжаться (составное глагольное сказуемое) имуществом семьи.
Старик (подлежащее) не стал оправдываться (составное глагольное сказуемое) – он (подлежащее) лишь прочел (простое глагольное сказуемое) судьям только что законченную трагедию.
После этого спор (подлежащее) был сразу решен (составное именное сказуемое) в его пользу, а сына признали бессовестным лжецом (составное именное сказуемое).
Трагедия (подлежащее) называлась (простое глагольное сказуемое) «Эдип в Колоне», а старика звали (простое глагольное сказуемое) Софокл.
Подача иска именно 7 апреля представляется не случайной. Убытки от профессиональных ошибок нотариуса могут быть не меньше, чем от ошибок адвоката. Докладчик описал небрежный круг указкой на карте и усмехнулся. Город, река, лес - всё наполнено непрерывным шумом.
В 1 и 4 предложении НЕ с прилагательными пишется слитно:
К тому же эта тётка была далеко недоброй и ничуть не экономичной. Этот человек не здешний. Из приоткрытых дверей слышалась не громкая хоровая песня. Голос Анны Сергеевны был негромкий, но приятный.