по это приставка убираем и остаётся гореть и тем самым корень гор и буква о проверяемая
У нас (Р.п.,н.ф.- Мы) в комнате (П.п.) на стенке (П.п.) висят старинные (И.п.) часы (И.п.). Сверху их (В.п.,н.ф.- Они ) украшает домик (И.п.) кукушки (Р.п.). Через каждые (В.п.) полчаса (В.п.) она (И.п.) появляется в окошке (П.п.) и кукует. Мне (Д.п.,н.ф.- Я) всегда было интересно узнать, как называется этот домик (И.п.). Может быть, кукушник (И.п.)? Птичка (И.п.) никогда не вылетает из него (Р.п.,н.ф.- Он). Но ей (Д.п.,н.ф.- Она) не скучно в одиночестве (П.п.). Она (И.п.) же хранительница (И.п.) времени (Р.п.)!
У нас (Р.п.,н.ф.- Мы) в комнате (П.п.) на стенке (П.п.) висят старинные (И.п.) часы (И.п.). Сверху их (В.п.,н.ф.- Они ) украшает домик (И.п.) кукушки (Р.п.). Через каждые (В.п.) полчаса (В.п.) она (И.п.) появляется в окошке (П.п.) и кукует. Мне (Д.п.,н.ф.- Я) всегда было интересно узнать, как называется этот домик (И.п.). Может быть, кукушник (И.п.)? Птичка (И.п.) никогда не вылетает из него (Р.п.,н.ф.- Он). Но ей (Д.п.,н.ф.- Она) не скучно в одиночестве (П.п.). Она (И.п.) же хранительница (И.п.) времени (Р.п.)!
Прогореть, о в корне гор является чередующейся
Правило правописания гар-/гор- :
В корне -гор- / -гар- , в безударном положении пишется буква *о* , а под ударением *а* :
горе'ть, зага'р.