Моторная лодка шла против течения 5 часов и 6 часов по течению. за это время лодка км. найдите путь лодки против течения, если скорость течения реки равна 1,5 км в час.
Пусть х км/ч - собственная скорость лодки, тогда (х + 1,5) км/ч - скорость лодки по течению реки, (х - 1,5) км/ч - скорость лодки против течения реки. Уравнение:
(х + 1,5) · 6 + (х - 1,5) · 5 = 168,7
6х + 9 + 5х - 7,5 = 168,7
6х + 5х = 168,7 + 7,5 - 9
11х = 167,2
х = 167,2 : 11
х = 15,2 (км/ч) - собственная скорость лодки
(15,2 + 1,5) · 6 = 16,7 · 6 = 100,2 (км) - путь лодки по течению
(15,2 - 1,5) · 5 = 13,7 · 5 = 68,5 (км) - путь лодки против течения
1) Запишем это уравнение в виде (2x+5)(2y+3)=1 (проверяется раскрытием скобок и делением на 2). Т.к. у 1 есть только два делителя 1 и -1, то возможны только 2 варианта: 2x+5=1, 2у+3=1, откуда х=-2, у=-1 или 2x+5=-1, 2у+3=-1, откуда х=-3, у=-2. ответ: 2 решения.
2) Введем обозначения как на рисунке. Пусть ∠O₁BM=x. BO₁ и BO₂ - биссектрисы углов, сумма которых равна 90°, поэтому ∠O₂BN=45°-x. По свойству касательных BE=BM=ctg(x) и BF=BN=r·ctg(45°-x), откуда BF/BE=r·ctg(45°-x)/ctg(x)=r·tg(x)/tg(45°-x). С другой стороны, BF/BE=AD/AB=tg(2x). Таким образом, r·tg(x)/tg(45°-x)=tg(2x). После несложных преобразований получаем: r=2/(1+tg(x))². Т.к. х изменяется от 0 до 45°, то r может принимать значения от 1/2 до 2.
1) Запишем это уравнение в виде (2x+5)(2y+3)=1 (проверяется раскрытием скобок и делением на 2). Т.к. у 1 есть только два делителя 1 и -1, то возможны только 2 варианта: 2x+5=1, 2у+3=1, откуда х=-2, у=-1 или 2x+5=-1, 2у+3=-1, откуда х=-3, у=-2. ответ: 2 решения.
2) Введем обозначения как на рисунке. Пусть ∠O₁BM=x. BO₁ и BO₂ - биссектрисы углов, сумма которых равна 90°, поэтому ∠O₂BN=45°-x. По свойству касательных BE=BM=ctg(x) и BF=BN=r·ctg(45°-x), откуда BF/BE=r·ctg(45°-x)/ctg(x)=r·tg(x)/tg(45°-x). С другой стороны, BF/BE=AD/AB=tg(2x). Таким образом, r·tg(x)/tg(45°-x)=tg(2x). После несложных преобразований получаем: r=2/(1+tg(x))². Т.к. х изменяется от 0 до 45°, то r может принимать значения от 1/2 до 2.
Пусть х км/ч - собственная скорость лодки, тогда (х + 1,5) км/ч - скорость лодки по течению реки, (х - 1,5) км/ч - скорость лодки против течения реки. Уравнение:
(х + 1,5) · 6 + (х - 1,5) · 5 = 168,7
6х + 9 + 5х - 7,5 = 168,7
6х + 5х = 168,7 + 7,5 - 9
11х = 167,2
х = 167,2 : 11
х = 15,2 (км/ч) - собственная скорость лодки
(15,2 + 1,5) · 6 = 16,7 · 6 = 100,2 (км) - путь лодки по течению
(15,2 - 1,5) · 5 = 13,7 · 5 = 68,5 (км) - путь лодки против течения
ответ: 68,5 км.