Question

Докажите что 10^70 - 19 ^ 2 кратно 27

Answer 1

$10^{70}-19^2=100^{35}-19^2\equiv (-8)^{35}-(-8)^2 (mod \: 27)=-8^2(8^{33}+1)=-64((19*27-1)^{11}+1) \equiv -64((-1)^{11}+1) (mod \: 27)=-64(-1+1)=0$

А значит $10^{70}-19^2$ кратно 27.

Использованы свойства сравнения чисел по модулю

_______________________

$10^{70}-19^2=99...9639$

Теперь разобьем число на "тройки" цифр, начиная справа, и найдем сумму чисел, образуемых этими тройками:

Т.к. $639+999+...+999+9=648+999*22=27*24+27*37*22=27*(24+37*22)$ делится на 27, то и исходное число делится на 27 (по признаку делимости)