Во-первых, если функция имеет неустранимый разрыв 2 рода, то она не ограничена.
Например, дроби при знаменателе, равном 0, или логарифм при числе меньше 0.
Если таких разрывов нет, тогда второй шаг.
Нужно проверить её пределы на +oo и - oo.
Если lim(x->-oo) y(x) = a (какому-то числу), то функция y(x) ограничена снизу.
Если lim(x->+oo) y(x) = a, то функция ограничена сверху.
Если оба предела равны oo, тогда смотрим на знаки.
Если lim(x->-oo) y(x) = lim(x->+oo) y(x) = +oo, то функция ограничена снизу.
Например, парабола y=ax^2+bx+c при а > 0.
Если наоборот, оба предела равны -oo, то функция ограничена сверху.
Например, та же парабола при а < 0.
В обоих случаях парабола ограничена в своей вершине.
И, наконец, если разрывов нет и пределы равны oo с разными знаками, то функция не ограничена.
x² - 4x < 12
x² - 4x - 12 < 0
(x + 2)(x - 6) < 0
+ - +
₀₀
- 2 6
ответ : x ∈ (- 2 ; 6)
2) x² ≥ 6x + 7
x² - 6x - 7 ≥ 0
(x + 1)(x - 7) ≥ 0
+ - +
[- 1][7]
ответ : x ∈ (- ∞ ; - 1] ∪ [7 ; + ∞)
3) x² - 2x + 1 > 0
(x - 1)² > 0
+ +
₀
1
ответ : x ∈ ( - ∞; 1) ∪ (1 ; + ∞)