Question

Решите введения дополнительного аргумента уравнение 2sin2x+cos2x+1=0​

Answer 1

$$2sin2x+cos2x+1=0;$

$$\sqrt{2^2+1^2} \bigg(\frac{2}{\sqrt{2^2+1^2}} \cdot sin2x+\frac{1}{\sqrt{2^2+1^2}} \cdot cos2x\bigg)+1=0$

$$\sqrt{5}(sin2x\cdot cos \phi+cos2x\cdot sin \phi )=-1, \phi=arcsin\frac{1}{\sqrt{5} } =arccos\frac{2}{\sqrt{5} }$

$$\sqrt{5}sin(2x+\phi)=-1; sin\bigg(2x+arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}\bigg)= -\frac{1}{\sqrt{5} } ;$

$$\left [ {{2x+arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}=-arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}+2\pi k, k\in \mathbb{Z} } \atop {2x+arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}=\pi+arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}+2\pi n, n\in \mathbb{Z}}} \right.$

$$\left [ {{2x=2arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}+2\pi k, k \in \mathbb{Z} } \atop {2x=\pi + 2\pi n, n\in \mathbb{Z}}} \right.$

$$\left [ {{x=arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}+\pi k, k \in \mathbb{Z} } \atop {x=\frac{\pi}{2} +\pi n, n \in \mathbb{Z}}} \right.$

ответ: $\boxed{x=arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}+\pi k, k \in \mathbb{Z}; x=\frac{\pi}{2} +\pi n, n \in \mathbb{Z}}$

В общем виде суть метода дополнительного аргумента:

$$a \: sinx\pm b\: cosx=\sqrt{a^2+b^2}\bigg(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx \pm \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx \bigg)=$

$$=\sqrt{a^2+b^2}(sinx\cdot cos \phi \pm cosx\cdot sin \phi)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot sinx(x \pm \phi),$

$$\phi=arcsin\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} =arccos\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Ну и учитываем, что $a0, b0$. (знак $\pm$ уже учитывает отрицательные значения $b$, а если a<0, то выносим (-1) за скобки и работаем по схеме).