Question

Пусть x1,x2 - корни квадратного трёхчлена с дискриминантом 1; y1,y2 - корни квадратного трёхчлена с дискриминантом 9; z1,z2 - корни квадратного трёхчлена с дискриминантом d. при каком наименьшем d могло выполняться равенство x1+y1+z1=x2+y2+z2?

Answer 1

4

Объяснение:

Перепишем равенство в другом виде:

$x_1+y_1+z_1=x_2+y_2+z_2\\(x_1-x_2)+(y_1-y_2)+(z_1-z_2)=0$

Выясним для приведенного уравнения с корнями $x_1,x_2$, чему может быть равно выражение $x_1-x_2$:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2}\\1)x_1-x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2}-\frac{-b-\sqrt{D}}{2}=\sqrt{D}\\2)x_1-x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2}-\frac{-b+\sqrt{D}}{2}=-\sqrt{D}$

В зависимости от того, как назначили $x_1,x_2$, разность может быть $\pm\sqrt{D}$.

Пусть $D_1,D_2,D_3$ - дискриминанты трех уравнений из условия. Тогда равенство $(x_1-x_2)+(y_1-y_2)+(z_1-z_2)=0$ можно будет записать так:

$\pm\sqrt{D_1}\pm\sqrt{D_2}\pm\sqrt{D_3}=0$

Подставим $D_1=1,D_2=9$ из условия и получим:

$\pm1\pm3\pm\sqrt{D_3}=0\\\sqrt{D_3}=\pm(\pm1\pm3)\\\sqrt{D_3}\in\{-4,-2,2,4\}$

Но так как значение $\sqrt{D_3}$ неотрицательно, минимальным значением может быть 2. То есть минимальное $D_3=4$.