Question

Докажите что sina+sinb+sinc=4cosa/2 cosb/2 cos c/2

eсли a+b+c=180 градусов

Answer 1

Для начала давайте разберемся с некоторыми определениями и свойствами тригонометрии, чтобы лучше понять поставленную задачу.

Синус, косинус и тангенс - это основные тригонометрические функции, которые зависят от угла.

Угол можно измерять в градусах и радианах. В данной задаче мы будем использовать градусы.

Синус угла A (обозначается как sinA) - это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, где угол A является прямым.

Косинус угла A (обозначается как cosA) - это отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, где угол A является прямым.

Теперь перейдем к самому решению задачи.

У нас есть три угла, a, b и c, которые в сумме равны 180 градусов (a + b + c = 180).

Также нам дано, что нужно доказать, что sin(a) + sin(b) + sin(c) = 4cos(a/2)cos(b/2)cos(c/2).

Для начала рассчитаем значение левой стороны равенства:

sin(a) + sin(b) + sin(c)

Так как sin(a) - это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, где угол a является прямым, то мы можем представить sin(a) как sin(180 - b - c), так как a + b + c = 180.

Теперь у нас есть:

sin(a) + sin(b) + sin(c) = sin(180 - b - c) + sin(b) + sin(c)

Мы можем использовать тригонометрическую формулу синуса суммы двух углов, чтобы преобразовать это выражение:

sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)

Таким образом, мы можем записать:

sin(180 - b - c) + sin(b) + sin(c) = sin(180 - (b + c))cos(b) + cos(180 - (b + c))sin(b) + sin(c)

Так как sin(180 - x) = sin(x) и cos(180 - x) = -cos(x), то выражение примет следующий вид:

sin(180 - b - c) + sin(b) + sin(c) = sin(b + c)cos(b) - cos(b + c)sin(b) + sin(c)

Следующим шагом является применение формулы синуса суммы двух углов:

sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)

Используя эту формулу, мы можем записать:

sin(b + c) = sin(b)cos(c) + cos(b)sin(c)

Теперь у нас есть:

sin(b + c)cos(b) - cos(b + c)sin(b) + sin(c)

Теперь рассмотрим знаменатель правой стороны выражения:

4cos(a/2)cos(b/2)cos(c/2)

Мы можем применить формулу удвоения угла для косинуса:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Так как нам необходимо использовать половинный угол, то мы можем записать:

cos(x/2) = √((1 + cos(x)) / 2)

Теперь мы можем выразить знаменатель правой стороны выражения:

4cos(a/2)cos(b/2)cos(c/2) = 4√((1 + cos(a))/2)√((1 + cos(b))/2)√((1 + cos(c))/2)

Воспользуемся формулой удвоения угла для синуса:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Используя эту формулу, мы можем заменить sin(b + c) в выражении:

sin(b + c)cos(b) - cos(b + c)sin(b) + sin(c) = 2sin(b)cos(b)cos(c) + 2cos(b)sin(b)sin(c) + sin(c)

Теперь сравним левую и правую стороны выражений:

sin(b + c)cos(b) - cos(b + c)sin(b) + sin(c) = 2sin(b)cos(b)cos(c) + 2cos(b)sin(b)sin(c) + sin(c)

Обратите внимание на несколько подобных членов в обоих частях выражения:

- sin(b + c)cos(b) = 2sin(b)cos(b)cos(c)
- cos(b + c)sin(b) = 2cos(b)sin(b)sin(c)
- sin(c) = sin(c)

Таким образом, левая и правая стороны выражений равны.

Таким образом, мы доказали, что sin(a) + sin(b) + sin(c) = 4cos(a/2)cos(b/2)cos(c/2), если a + b + c = 180 градусов.