1. а) Для вычисления данного выражения мы можем воспользоваться формулами для возведения в степень.
По формуле a^{(m/n)} = (n\sqrt[m]{a})^m, имеем:
{125}^{\frac{1}{3}} = (3\sqrt[3]{125})^3 = 5^3 = 125
Также, по формуле (a^m)^n = a^{m*n}, имеем:
(\frac{1}{16})^{-\frac{1}{4}} = (16\sqrt[4]{\frac{1}{16}})^{-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2}
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и вычислим его:
{125}^{\frac{1}{3}} - {(\frac{1}{16})}^{-\frac{1}{4}} = 125 - \frac{1}{2} = \frac{249}{2}
б) Для вычисления данного выражения сначала выполним операции внутри скобок:
2 - {3}^{\frac{2}{3}} = 2 - \sqrt[3]{3^2} = 2 - \sqrt[3]{9}
4 + 2 \times {3}^{\frac{2}{3}} + {3}^{\frac{4}{3}} = 4 + 2 \times \sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3^4}
Теперь заметим, что в обоих скобках есть общий множитель (2 - \sqrt[3]{9}).
Вынесем его за скобки:
(2 - \sqrt[3]{9})(1 + 2 \times \sqrt[3]{3} + {3}^{\frac{2}{3}}) = (2 - \sqrt[3]{9}) \times (1 + 2 \times \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})
Таким образом, мы получили упрощенное выражение.
2. а) Для упрощения данного выражения мы можем воспользоваться формулами для умножения двух скобок и для возведения в степень.
Мы получим:
({a}^{\frac{1}{4}} + 2)({a}^{\frac{1}{4}} - 2)({a}^{\frac{1}{2}} + 4)
= ({a}^{\frac{1}{4}})^2 - 2^2 \times ({a}^{\frac{1}{4}}) + 4 \times ({a}^{\frac{1}{4}}) + 4 \times 2
= {a}^{\frac{2}{4}} - 4 \times {a}^{\frac{1}{4}} + 4 \times {a}^{\frac{1}{4}} + 8
= {a}^{\frac{2}{4}} + 8
б) Для упрощения данного выражения мы можем воспользоваться формулами для умножения двух скобок и для возведения в степень.
Мы получим:
(\frac{a - b}{{a}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{b}^{\frac{1}{2}}}{{a}^{\frac{1}{2}}}) - \frac{{a}^{\frac{3}{2}} + {b}^{\frac{3}{2}}}{a - b})( {b}^{\frac{1}{2}} - {a}^{\frac{1}{2}})
= (\frac{a - b + {b}^{\frac{1}{2}}}{{a}^{\frac{1}{2}}}) - \frac{{a}^{\frac{3}{2}} + {b}^{\frac{3}{2}}}{a - b}) \times ( {b}^{\frac{1}{2}} - {a}^{\frac{1}{2}})
Таким образом, мы получили упрощенное выражение.
3. Для решения данного уравнения мы можем привести все слагаемые к общему знаменателю и вычислить x.
Имеем:
5 {x}^{-\frac{2}{3}} + 4 {x}^{-\frac{1}{3}} - 1 = 0
Возведем оба слагаемых в знаменатель в их отрицательной степени:
\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0
Чтобы избавиться от знаменателей, возведем все слагаемые в куб:
5x - 4\sqrt[3]{x} - x^{\frac{2}{3}} = 0
Теперь заметим, что данное уравнение можно решить как квадратное уравнение относительно x.
Проведем замену: y = x^{\frac{1}{3}}
Получим следующее квадратное уравнение:
5y^2 - 4y - 1 = 0
Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.
Дискриминант данного уравнения равен:
D = 4^2 - 4 \times 5 \times (-1) = 16 + 20 = 36
Таким образом, дискриминант положителен, и у нас есть два действительных решения для уравнения.
Теперь найдем значения x, подставив найденные значения y в уравнение y = x^{\frac{1}{3}}:
x_1 = 1^3 = 1
x_2 = (-0.2)^3 = -0.008
Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 1 и x = -0.008.
4. Параллельная биссектриса первой координатной четверти имеет угловой коэффициент равный 1, так как она делит эту четверть на две равные части.
Угловой коэффициент касательной к графику функции y = 2 {x}^{ - \frac{1}{2 }} - {x}^{ - 2} - \frac{2}{5} в точке (x_0, y_0) равен производной этой функции в этой точке.
Таким образом, нам нужно найти производную функции и приравнять ее к 1:
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} {x}^{-\frac{3}{2}} + 2 {x}^{-3}
Мы получили уравнение, которое можно решить относительно x.
5. Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = - \frac{16}{3} {x}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {x}^3 на отрезке [1;9] нужно найти экстремумы этой функции.
Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:
\frac{dy}{dx} = -\frac{16}{2} {x}^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{3} {x}^2
Приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:
-\frac{16}{2} {x}^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{3} {x}^2 = 0
Решаем это уравнение и получаем два значения x.
Далее, подставляем найденные значения x в исходную функцию и находим соответствующие значения y.
Сравниваем полученные значения y и находим наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1;9].
Чтобы определить, на каком интервале функция возрастает, нужно проанализировать ее производную. Поскольку данная функция является квадратичной, мы знаем, что она представляет собой параболу, и такие функции либо возрастают на всей числовой оси, либо убывают на всей числовой оси.
Для начала найдем производную данной функции и выразим ее в виде:
Для этого мы используем правило дифференцирования степеней и суммы:
Производная первого слагаемого равна:
Производная второго слагаемого равна:
Подставим найденные значения производных в выражение для производной:
Теперь, для того чтобы определить, на каком интервале функция возрастает, мы должны проанализировать знак производной на этих интервалах.
1. Интервал x∈[−1; +0):
Подставим любое значение из интервала, например x=-0.5, в выражение для производной:
Знак производной отрицательный, что означает, что функция убывает на этом интервале.
2. Интервал x∈[−2; +∞):
Подставим любое значение из интервала, например x=2, в выражение для производной:
Знак производной положительный, что означает, что функция возрастает на этом интервале.
3. Интервал x∈[-9; +∞):
Подставим любое значение из интервала, например x=-10, в выражение для производной:
Знак производной отрицательный, что означает, что функция убывает на этом интервале.
4. Интервал x∈[−3; +∞):
Подставим любое значение из интервала, например x=5, в выражение для производной:
Знак производной положительный, что означает, что функция возрастает на этом интервале.
5. Интервал x∈[0; +∞):
Подставим любое значение из интервала, например x=1, в выражение для производной:
Знак производной положительный, что означает, что функция возрастает на этом интервале.
Итак, проанализировав знак производной на каждом из интервалов, мы можем сделать вывод, что функция возрастает на интервалах:
- x∈[−2; +∞)
- x∈[−3; +∞)
- x∈[0; +∞)
" />
4\5=0,8
Объяснение: