Question

3^x+y+81^x=82
3^y^2-x=2, решите систему уравнений​

Answer 1

Для решения данной системы уравнений, нам потребуется метод подстановки.

Сначала рассмотрим первое уравнение: 3^(x+y) + 81^x = 82.
Мы видим, что 82 может быть записано в виде степени 3, то есть 82 = 3^4. Используем это и перепишем уравнение:
3^(x+y) + 3^(4x) = 3^4.

Теперь преобразуем уравнение с помощью свойств степеней:
3^(x+y) = 3^4 - 3^(4x).

Таким образом, мы получили одно уравнение с одной неизвестной (x+y).
Теперь рассмотрим второе уравнение: 3^(y^2-x) = 2.
Тут у нас также есть возможность записать 2 как степень 3, то есть 2 = 3^1.
Подставим это в уравнение и получим:
3^(y^2-x) = 3^1.

Теперь сравним показатели степеней и получим:
y^2 - x = 1.

Получаем систему уравнений:
1) x + y = 4,
2) y^2 - x = 1.

Далее решим эту систему методом подстановки.

Возьмем первое уравнение, выразим x: x = 4 - y.
Подставим это значение во второе уравнение:
y^2 - (4 - y) = 1.

Раскроем скобки:
y^2 - 4 + y = 1.

Приведем подобные члены:
y^2 + y - 3 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение.
Мы видим, что у нас здесь получилось такое уравнение, и решим его с помощью квадратного корня, методом дискриминанта.

Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-3) = 1 + 12 = 13.

Так как дискриминант положителен, у нас будет два корня.
Формула для нахождения корней: y = (-b ± √D) / 2a.
Подставим значения в формулу:
y1 = (-1 + √13) / (2 * 1) = (-1 + √13) / 2,
y2 = (-1 - √13) / (2 * 1) = (-1 - √13) / 2.

Теперь, найдя значения y, подставим их в первое уравнение:
1) x + y1 = 4,
2) x + y2 = 4.

Для первого уравнения:
x + (-1 + √13) / 2 = 4,
x = 4 - (-1 + √13) / 2,
x = (8 + √13 - 2) / 2,
x = (6 + √13) / 2.

Для второго уравнения:
x + (-1 - √13) / 2 = 4,
x = 4 - (-1 - √13) / 2,
x = (8 + √13 + 2) / 2,
x = (10 + √13) / 2.

Таким образом, получили два возможных решения:
1) x = (6 + √13) / 2, y = (-1 + √13) / 2;
2) x = (10 + √13) / 2, y = (-1 - √13) / 2.