Question

Докажите тождество b/b-a+a^2-b^2/ab+a^2*b^2/(b-a)^2=-b/a

Answer 1

Для начала разложим каждую дробь на простейшие:

b/b-a = b(1/(b-a))
a^2-b^2 = (a+b)(a-b)
ab = a*b
a^2*b^2 = (ab)^2
(b-a)^2 = (b-a)(b-a)

Теперь запишем исходное тождество и разложим дроби:

b/(b-a) + (a^2-b^2)/(ab) + a^2*b^2/(b-a)^2 = -b/a

b/(b-a) = b(1/(b-a)) = b*b/(ab-ab) = b^2/(ab-ab)

(a^2-b^2)/(ab) = (a+b)(a-b)/(ab)

(a^2*b^2)/(b-a)^2 = [(ab)^2]/[(b-a)(b-a)] = a^2*b^2/[(b^2-2ab+a^2)]

Теперь подставим полученные выражения в исходное тождество и продолжим доказательство:

b^2/(ab-ab) + (a+b)(a-b)/(ab) + a^2*b^2/[(b^2-2ab+a^2)]= -b/a

Упростим выражения перед сложением:

b^2/(ab-ab) = b^2/0, что есть бесконечность, так как деление на ноль невозможно.
(a+b)(a-b)/(ab) = (a^2-b^2)/(ab) = (a^2/b^2 - b^2/b^2) = (a^2-b^2)/ab

Подставим полученные значения:

бесконечность + (a^2-b^2)/ab + a^2*b^2/[(b^2-2ab+a^2)] = -b/a

Заметим, что выражение "a^2-b^2" мы уже разложили ранее, поэтому подставим его значение:

бесконечность + [2a/(b-a)]/ab + a^2*b^2/[(b^2-2ab+a^2)] = -b/a

Теперь найдем общий знаменатель для дальнейших действий:

(ab)*(b-a)*(b-a) = a(b-a)(b-a)(b+a)/b = a*(b^2-a^2)/(b) = a*b*(b-a)/(b) = -a(b-a)

Подставим найденный общий знаменатель:

бесконечность + [2a/(b-a)]/ab - a^2*b^2/[-a*(b-a)] = -b/a

Инвертируем последнее слагаемое и упростим:

бесконечность + [2a/(b-a)]/ab + a^2*b^2/(a*(b-a)) = -b/a

Теперь найдем общий числитель:

бесконечность + 2a + (a^2*b^2)/b = -b/a

Учтем, что бесконечность плюс какое-либо число остается бесконечностью:

бесконечность + 2a + (a^2*b^2)/b = -b/a

Удаление бесконечности:

2a + (a^2*b^2)/b = -b/a

Умножим обе части уравнения на a*b:

2a*a*b + (a^2*b^2) = -b^2

2a^2*b + a^2*b^2 + b^2 = -b^2

Вынесем общий множитель:

b(2a^2 + a^2*b + b) = -b^2

Упростим левую часть:

2a^2*b + a^2*b^2 + b^2 = -b^2

Выразим выражение (a^2 * b^2) через (2a^2) и (b^2):

2a^2*b + (2a^2)*b^2 + b^2 = -b^2

Вынесем общий множитель:

b(2a^2 + 2a^2*b + 1) = -b^2

Поделим обе части на b:

2a^2 + 2a^2*b + 1 = -b

Вынесем общий множитель:

2a^2(1 + b) + 1 = -b

Заменим (1+b) на a:

2a^2*a + 1 = -b

2a^3 + 1 = -b

Выразим a^3 через -b:

a^3 = (-b - 1)/2

Теперь заменим a^3 в исходном уравнении:

(-b-1)/2 = -b

Умножим обе части на 2:

-b-1 = -2b

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

2b - b = -1

b = -1

Таким образом, решение данного уравнения -1 (есть только одно значение b).

Окончательно, мы доказали, что тождество b/b-a+a^2-b^2/ab+a^2*b^2/(b-a)^2=-b/a верно для случая b=-1.