1. [A x B] * rot C = [A x B] * [∇ x C] = {смешанное произведение} = ([A x B], ∇, C) = {циклическая перестановка не меняет результат} = (C, [A x B], ∇) = С * [[A x B] x ∇] = C * [∇ x [B x A]] = {формула Лагранжа для двойного векторного произведения} = C * (B(∇*A) - A(∇*B)) = B(A*∇)C - A(B*∇)C
2. [[A x ∇] x B] = [B x [∇ x A]] = {формула Лагранжа} = ∇(A*B) - A(∇*B) = { [A x [∇ x B]] = ∇(A*B) - B(∇*A) --> ∇(A*B) = [A x [∇ x B]] + B(∇*A) } = [A x [∇ x B]] + B(∇*A) - A(∇*B) = [A x rot B] + B div A - A div B
=> послідовність зростаюча (кожен наступний член буде по значенню більше за попередній)
Перевіримо чи 0 являється членом прогресії. - не натуральне, значить 0 не член прогресії
В такому випадку, щоб знайти найменший за модулем член арифметичнох прогресії - знайдемо найбільший відємний, найменший додатній, порівнявши їх модулі знайдемо найменший за модулем член прогресії
найбільше натуральне яке задовільняє нерівність n=22, значить останній (в порядку зростання номера n) відємний член наступний член прогресії - 23-й член (22+1=23) - буде найменший додатнім (так як переконались що 0 не буде членом, а послідовність являється зростаючою) значить найменший член за модулем це 23-й член зі значенням 0.3
=> послідовність зростаюча (кожен наступний член буде по значенню більше за попередній)
- не натуральне, значить 0 не член прогресії
[A x B] * rot C = [A x B] * [∇ x C] = {смешанное произведение} =
([A x B], ∇, C) = {циклическая перестановка не меняет результат} =
(C, [A x B], ∇) = С * [[A x B] x ∇] = C * [∇ x [B x A]] =
{формула Лагранжа для двойного векторного произведения} =
C * (B(∇*A) - A(∇*B)) = B(A*∇)C - A(B*∇)C
2.
[[A x ∇] x B] = [B x [∇ x A]] = {формула Лагранжа} =
∇(A*B) - A(∇*B) =
{ [A x [∇ x B]] = ∇(A*B) - B(∇*A) --> ∇(A*B) = [A x [∇ x B]] + B(∇*A) } =
[A x [∇ x B]] + B(∇*A) - A(∇*B) = [A x rot B] + B div A - A div B