1) Орг. момент.
2) Актуализация опорных знаний.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Пример: 5x+2y=10
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
4) Изучение нового материала.
Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0
Утверждение 1.
Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.
Пример: 34x – 17y = 3.
НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.
Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно Утверждение 2.
Если m и n уравнения (1) взаимно числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.
Утверждение 3.
Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:
где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z
Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)
m, n, x, y Z
Утверждение 4.
Если m и n – взаимно числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид
5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:
9x – 18y = 5
x + y= xy
Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания
1) 9x – 18y = 5
НОД (9;18)=9
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
2) x + y= xy
Методом подбора можно найти решение
ответ: (0;0), (2;2)
Решение
Через вершину B проведем прямую, параллельную AC, продлим медиану AА₁ до пересечения с этой прямой в точке T.
Из равенства треугольников А₁BT и A А₁C (по стороне и двум прилежащим углам: B А₁ = А₁C, т. к. A А₁ — медиана,
∠B А₁T = ∠A А₁C — вертикальные, ∠ А₁BT = ∠ А₁CA — накрест лежащие при параллельных прямых AC, BT и секущей BC) следует, что BT = AC и A А₁ = KT. Из подобия треугольников
AML и MBT (по двум углам: ∠MAL = ∠BTА₁,
∠ALB = ∠LBT — накрест лежащие при параллельных
прямых AC, BT и секущих BL, AT) следует,
что AL : BT = AL : AC = AM : MT. Так как АА₁ = А₁T,
то AM : MT = 1 : 7.
Тогда AL : AC = 1 : 7, а AL : LC = 1 : 6.
решение во вкладыше
I вариант:
1.
А(квадратные): а, б;
Б(неполные): в, д;
В(линейные): г, е;
2.
D=b^2-4ac; b=0 => D=-4ac; =>
x1=√(-4ac)/2a=2✓(-ac)/2a=✓(-ac);
x2=-✓(-4ac)/2a=-✓(-ac)
3.
a)
(2x-1)(3x+2)=0
2x-1=0; 2x=1; x=1/2
3x+2=0; 3x=-2; x=-2/3
6x^2+4x-3x-2=0
6x^2+x-2=0
D=1+4*6*2=49
x1=(-1+7)/12=1/2
x2=(-1-7)12=-2/3
b)
2x^2-3x=0
x(2x-3)=0
x=0
2x=3
x=3/2
D=9
x1=(3+3)/4=3/2
x2=(3-3)/4=0
в)
3x^2-6=0
3х^2=6
х^2=2
х=+-✓2
D=4*3*6=72
x1=✓(72)/6=✓(72/36)=✓2
x2=-✓(72)/6=-✓(72/36)=-✓2
г)
-5х^2=0
х^2=0
х=0
5х^2=0
D=0
x=(0-4*5*0)/10=0
II варіант:
1.
А (квадратные): б
Б (неполные): в, г, д
В (линейные): а, е
2.
ах^2+bx=0
D=b^2-4ac; c=0 => D=b^2
x1 = (-b+✓b^2)/2a=(-b+b)/2a=0
x2= (-b-✓b^2)/2a=(-b-b)/2a=-2b/2a=-b/a
3.
а)
(5x-2)(3x+1)=0
5x=2
x=2/5
3x=-1
x=-1/3
15x^2+5x-6x-2=0
15x^2-x-2=0
D=1+4*15*2=121
x1=(1+11)/30=12/30=4/10=0,4=2/5
x2=(1-11)/30=-10/30=-1/3
б)
2х^2-10=0
2х^2=10
х^2=5
х1=✓5
х1=-✓5
2x^2-10=0
D=4*2*10=80
x1=✓80/4=4✓5/4=✓5
x2=-✓80/4=-✓5
в)
3х^2+5х=0
х(3х+5)=0
х=0
3х+5=0
3х=-5
х=-5/3
D=25
x1=(-5+5)/6=0
x2=(-5-5)/6=-10/6=-5/3
г) -4х^2=0
x^2=0
x=0
D=0
x=0/-8=0